高中数学必修四知识点汇总

1第一章三角函数1.正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。按边旋转的方向分零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。角负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。的第一象限角{α|k·360°＜α＜90°+k·360°,k∈Z}分象限角第二象限角{α|90°+k·360°＜α＜180°+k·360°,k∈Z}类第三象限角{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z}按终边的位置分第四象限角{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°,k∈Z}或{α|-90°+k·360°＜α＜k·360°,k∈Z}轴上角(象间角):当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限．2.终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和。3.几种特殊位置的角：⑴终边在x轴上的非负半轴上的角：α=k·360°,k∈Z⑵终边在x轴上的非正半轴上的角：α=180°+k·360°,k∈Z⑶终边在x轴上的角：α=k·180°,k∈Z⑷终边在y轴上的角：α=90°+k·180°,k∈Z⑸终边在坐标轴上的角：α=k·90°,k∈Z⑹终边在y=x上的角：α=45°+k·180°,k∈Z⑺终边在y=-x上的角：α=-45°+k·180°,k∈Z或α=135°+k·180°,k∈Z⑻终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：α=k·45°,k∈Z4.弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。5.一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.6.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|=lr相关公式：⑴nr||r180lπ⑵221nr1Sr||r23602lπ7.角度制与弧度制的换算：⑴o1rad180π⑵o1801rad（）π8.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。9.利用单位圆定义任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）那么：⑴y叫做α的正弦，记作sinα即sinα=y⑵x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x⑶yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα=yx（x≠0）10.平方关系：22sincos12sin1cos；2cos1sin同角三角函数的基本关系商的关系【当α≠kπ+2π（k∈Z）】：sintancos11.三角函数的诱导公式：2sin2sincos2costan2tankkkkZ公式一【注】其中sinsincoscostantan公式二sinsincoscostantan公式三sinsincoscostantan公式四sincos2cossin2tancot2公式五sincos2cossin2tancot2公式六12.三角函数的图像与性质：正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx正切函数y=tanx定义域RR{x|xkkZ}2，值域[-1,1]（有界性）[-1,1]（有界性）R零点{x|xkkZ}，{x|xkkZ}2，{x|xkkZ}，周期性T=2πT=2πT=π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间[2k,2k](kZ)22[2k,2k](kZ)(+k,+k)(kZ)22减区间3[2k,+2k](kZ)22[2k,2k](kZ)对称性对称轴xk(k)2Zxk(k)Z对称中心(k,0)(kZ)(+k,0)(kZ)2k(,0)(kZ)2图像321-1-2-3-4-22460321-1-2-3-4-22454321-1-2-3-4-5-6-4-2246注意：sinyx周期为2π；|sin|yx周期为π；|sin|yxk周期为2π；sin||yx不是周期函数。公式一～四可以概括如下：2kkZ，，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。公式五和公式六可以概括如下：2的正弦（余弦）函数值，分别等于余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。【奇变偶不变，符号看象限】313.得到函数ysin(x)A图像的方法:①y=sinxy=sin(x+)ysin(x)ysin(x)A平移变换周期变换振幅变换②||y=sinxysinxysin(x)ysin(x)A向左或向右平移个单位周期变换振幅变换14.简谐运动①解析式：ysin(x),x[0,+)A②振幅：A就是这个简谐运动的振幅。③周期：2Tπ④频率：1=T2fπ⑤相位和初相：x称为相位，x=0时的相位称为初相。第二章平面向量1.向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。有向线段三要素：起点、方向、长度。3.向量的长度（模）：向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作|AB|。4.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量a、b是两个平行向量，那么通常记作a∥b。平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a，都有0∥a。6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量a、b是两个相等向量，那么通常记作a=b。7.如图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作ab，即ABBCACab。向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。8.对于零向量与任一向量a，我们规定：a+0=0+a=a9.公式及运算定律：①1223n1AA+AA+...+AA=0②|a+b|≤|a|+|b|③a+bba④a+bcabc（）+（+）10.相反向量：①我们规定，与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a。a和-a互为相反向量。②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。若函数的最大值为a，最小值为b，则有2a-bA，2a+bk4③任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+-a=-a+a=0（）（）。④如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，ba=0。⑤我们定义a-b=a+-b（），即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。11.向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作a，它的长度与方向规定如下：①||||||aa②当λ＞0时，a的方向与a的方向相同；当λ＜0时，的方向与a的方向相反；λ=0时，a=012.运算定律：①aa（）（）②aaa（）③abab（）=④aaa（）（）（）⑤abab（）=13.定理：对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b=a，那么a与b共线。相反，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=a；当a与b反方向时，有b=a。则得如下定理：向量向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=a。14.平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee。我们把不共线的向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。15.向量a与b的夹角：已知两个非零向量a和b。作OAa，OBb，则AOB（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向。如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作ab。16.补充结论：已知向量a、b是两个不共线的两个向量，且m、n∈R，若0manb，则m=n=0。17.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。18.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。即若11(,)axy，22(,)bxy，则1212(,)abxxyy，1212(,)abxxyy19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若11(,)axy，则11(,)axy20.当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b（b≠0）共线_x_y_L_P2_P_P15OACB21.定比分点坐标公式：当12PPPP时，P点坐标为1212(,)11xxyy①当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，λ＞0②当点P在线段P1P2的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，λ＜-1；当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，-1＜λ＜0.22.从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，则OCOAOB，其中λ+μ=123.数量积（内积）：已知两个非零向量a与b，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b即a·b=||||cosab。其中θ是a与b的夹角，||cosa（||cosb）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。我们规定，零向量与任一向量的数量积为0。24.a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度||a与b在a的方向上的投影||cosb的乘积。25.数量积的运算定律：①a·b=b·a②（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）③（a+b）·c=a·c+b·c④222()2abaabb⑤222()2abaabb⑥22()()ababab26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即1212abxxyy。则：①若(,)axy，则222||axy，或22||axy。如果表示向量a的有向线段的起点和中点的坐标分别为11xy（，）、22xy（，），那么2121axxyy（，），212122||axxyy）（（）②设11axy（，），22bxy（，），则121200abxxyyab27.设a、b都是非零向量，11axy（，），22bxy（，），θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：121222221122cos||||abxxyyabxyxy第三章三角恒等变换1.两角和的余弦公式【简记C(α+β)】：coscoscossinsin2.两角差的余弦公式【简记C(α-β)】：coscoscossinsin3.两角和（差）余弦公式的公式特征：①左加号，右减号。②同名函数之积的和与差。③α、β叫单角，α±β叫复角，通过单角的正、余弦求和（差）的余弦值。④“正用”、“逆用”、“变用”4.两角和的正弦公式【简记S(α+β)】：sinsincoscossin5.两角差的正弦公式【简记S(α-β)】：sinsincoscossin6.两角和（差