长春市2020届高三质量监测数学文科(一)

长春市2020届高三质量监测（一）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2+iz的共轭复数z对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{|2,2}Axxx或≥≤，2{|30}Bxxx，则ABA.B.{|3,xx或x≤2}-C.{|3,xx或0}xD.{|3,xx或2}x≤3.已知等差数列{}na的前n项和为nS，515S，45a，则9SA.45B.63C.54D.814.已知条件:1px，条件:2qx≥，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx，其相关指数2R0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A.0B.1C.2D.36.已知直线0xy与圆22(1)()2xyb相切，则bA.3B.1C.3或1D.527.已知31()3a，133b，13log3c，则A.abcB.cbaC.cabD.bca8.已知,,abc为直线，,,平面，则下列说法正确的是①,ab，则//ab②,，则③//,//ab，则//ab④//,//，则//A.①②③B.②③④C.①③D.①④9.函数2sin()yx(0,||)2的图象（部分图象如图所示），则其解析式为A.()2sin(2)6fxxB.()2sin()6fxxC.()2sin(4)6fxxD.()2sin()6fxx10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为512时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为A.(35)B.(51)C.(51)D.(52)11.已知F是抛物线24yx的焦点，则过F作倾斜角为60的直线分别交抛物线于,AB（A在x轴上方）两点，则||||AFBF的值为A.3B.2C.3D.412.已知函数1(0)()(0)xexfxxx≤，若存在0xR使得00()(1)1fxmx≤成立，则实数m的取值范围为A.(0,)B.[1,0)(0,+)C.(,1][1,+)D.(,1](0,+)二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知1sincos225，则sin___________.14.设变量,xy满足约束条件03420xyxyx≤≤≥，则3zxy的最小值等于_________.15.三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，ABAC,10PA,2,2ABAC，则三棱锥PABC的外接球球的表面积为________.16.已知△ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若(,)mbcab,(sin,sinsin)nCAB，且mn，则A_______;若△ABC的面积为3，则△ABC的周长的最小值为__________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列{}na中，12a，1122nnnaa，设2nnnab.（Ⅰ）求证：数列{}nb是等差数列；（Ⅱ）求数列11{}nnbb的前n项和nS.18.（本小题满分12分）环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对100辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果.（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率.19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABCABC中，平面ABC、平面1ACCA、平面11BCCB两两垂直.（Ⅰ）求证：1,,CACBCC两两垂直；（Ⅱ）若1CACBCCa，求三棱锥11BABC的体积.20.（本小题满分12分）已知点(1,0),(1,0)MN若点(,)Pxy满足||||4PMPN.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点(3,0)Q的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于,AB两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.21.（本小题满分12分）设函数1()lnxfxxx.（Ⅰ）求函数()fx的极值；（Ⅱ）若(0,1)x时，不等式1ln2(1)xxax恒成立，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为212222xtyt（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为24cos3.（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C交于,AB两点，点(1,2)P，求||||PAPB的值.23.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知函数()|3||1|fxxx.（Ⅰ）解关于x的不等式()1fxx≥；（Ⅱ）若函数()fx的最大值为M，设0,0ab，且(1)(1)abM，求ab的最小值.长春市2020届高三质量监测（一）数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.C【解析】2iz，则z2i，其对应点为(2,1)，在第三象限2.B【解析】{|2,2}Axxx或≤≥，2{|30}{|0,3}Bxxxxxx或∴AB{|3,xx或x≤2}-3.B【解析】由515S得33a，45a∴57a∴95963Sa4.B【解析】{|1}{|2}xxxx≥，则则p是q的必要不充分条件5.D【解析】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R0.9817趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当7x时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.6.C【解析】由圆心到切线的距离等于半径，得22|1|211b∴|1|2b∴13bb或7.C【解析】01,1,0abc，∴cab8.D【解析】①正确；②错误；③错误；④正确9.A【解析】由2sin(0)1π∴=6，由112sin()0212∴即2sin(2)6yx，即为()fx解析式.10.A【解析】1S与2S所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S与2S所在扇形圆心角分别为,，则512，又2，解得(35)11.C【解析】||1cos60pAF，||1cos60pBF∴||10.53||10.5AFBF.12.D【解析】如图,直线0(1)1ymx过定点(1,1)P,m为其斜率，0m满足题意，当0m时，直线过原点时与函数1xye相切，此时1m，∴1m≤也满足题意.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13.2425【解析】1sincos225平方得242sincos2225∴24sin25.14.8【解析】画出可行域如图，3zxy变形为1133yxz，过点A（-2，-2），z取得最大值4，过点C(-2,2)取得最小值8.15.16【解析】2222(2)16RPAABAC∴16S16.,63【解析】由mn得(,)(sin,sinsin)()sin()(sinsin)0mnbcabCABbcCabAB()()()0bccabab得222abcbc∴2221cos22bcaAbc∴3A；1sin32SbcA∴4bc又222224abcbcbc所以2242426abcbcbcbcbc≥（当且仅当2bc时等号成立）三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的相关知识.【试题解析】（Ⅰ）证明：当2n时，111121222nnnnnnnnnaaaabb11b，所以{}nb是以为1首项，为1公差的等差数列.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，nbn，所以+11111nnbbnn，所以1111111122311nSnnn.（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率与统计的相关知识.【试题解析】（Ⅰ）由题意可画出频率分布直方图如图所示：由图可知，中位数在区间[36,38).（6分）（Ⅱ）由题意，设从[38,40)中选取的车辆为,,ABC，从[40,42)中选取的车辆为,ab，则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为,,,,,,,,,ABACAaAbBCBaBbCaCbab，其中符合条件的有6种，,,,,,AaAbBaBbCaCb，所以所求事件的概率为35.（12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何的相关知识.【试题解析】（Ⅰ）证明：在ABC内取一点P，作,PDACPEBC，因为平面ABC平面11ACCA，其交线为AC，所以PD平面11ACCA，1PDCC，同理1PECC，所以1CC平面ABC，11,CCACCCBC，同理ACBC，故1,,CCACBC两两垂直.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三棱锥11ABCB的高为11ACa，1211122BCBSBCBBa，所以三棱锥11BABC的体积为316a.（12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识.00.020.040.060.080.100.120.140.160.18频率/组距303234363840424446辆【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且24a，1c.因此椭圆的方程为22143xy.（4分）（Ⅱ）设直线l的方程为3xty与椭圆22143xy交于点11(,)Axy，22(,)Bxy，联立直线与椭圆的方程消去x可得22(34)6330tyty，即1226334tyyt，122334yyt.AOB面积可表示为212121211||||3()422AOBSOQyyyyyy△22222222163332363()4934312343423434tttttttt令231tu，则1u≥，上式可化为266333uuuu≤，当且仅当3u，即63t时等号成立，因此AOB面积的最大值为3，此时直线l的方程为633xy.（12分）21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与