一个正态总体期望与方差的假设检验

第八章第二节一个正态总体二、方差的假设检验－一、期望值的假设检验期望与方差的假设检验2检验一、期望值的假设检验1、方差220为已知时对期望值的检验—u检验12,,,nXXX设样本来自正态总体2(,),N的检验问题由上节中的五个步骤来进行.对差2已知,方①建立假设关于正态均值常用的三对假设0010()H:,H:;a0010()H:,H:;b0010()H:,H:.c(双边假设检验问题)(单边假设检验问题)}选择哪一种假设应根据问题的需要.②检验统计量都选择U统计量0~(0,1)/XUNn(8.2.1)③确定显著性水平显著性水平的大小应根据研究问题的需要而定,一般为0.05.④确定临界值,给出拒绝域对于三种不同的假设,其拒绝域如图所示,1/2u是标准正态分布的12分位数,其中其他意义相同.拒绝0H10()H:a1/2u1/2u0/2u1/2{}Wuu/2拒绝0H10()H:c01uu{}Wuu拒绝0H10()H:b01uu1{}Wuu拒绝0H（备择假设、拒绝域和显著性水平）⑤判断根据样本观测值计算检验统计量值,u若u落入拒绝W中，域则拒绝原假设0H,0H.否则，接受原假设问能否接受该厂商的说法？例1厂商声称他们生产的某种型号的装潢材料抗断强度（单位：MPa）服从正态分布，方差21.21,今从中随机抽取9件进行检验，测得平均抗断强度为3.15，(0.05)平均抗断强度为3.25，问能否接受该厂商的说法？例1厂商声称他们生产的某种型号的装潢材料抗断强度（单位：MPa）服从正态分布，平均抗断强度为3.25，今从中随机抽取9件进行检验，测得平均抗断强度为3.15，(0.05)方差21.21,解:作假设01H:3.25,H:3.25在0.05时,12196,u.{1.96}.u故拒绝域为由题意,容量为9的样本的3.15,x故03.153.250.273/1.1/9xun由于0.2731.96,u故不能拒绝0H,应接受厂商说法.例2某地区环保部门规定,正态分布,废水被处理后水中某种有毒物质的平均浓度不得超过10毫克/升,现从某废水处理厂随机抽取15升处理后的水,测得9.5x毫克/升,假定废水处理后有毒物质的含量服从标准差为2.5毫克/升的下判断该厂处理后的水是否合格.试在0.05解:如果处理后的水合格,那么不应超过10毫克/升,所以建立假设01H:10,H:10在0.05时,11645,u.{1.645},u故拒绝域为由样本观测值求得09.5100.771.645/2.5/15xun故应接受0H,即在0.05的水平下认为该厂处理后的水是合格的.2、方差2未知时对期望值的检验—t检验（备择假设、拒绝域和显著性水平）10()H:a2(1)tn0/2t12{(1)}Wttn/212(1)tn10()H:b0u1{(1)}Wttn1(1)tn10()H:c0u{(1)}Wttn(1)tn12,,,nXXX设样本来自正态总体2(,),N差2未知,方由抽样分布定理知,若用样本标准差代替s,U统计量变为t统计量,即0~(1)/xttnsn(8.2.2)相应于上述三对假设,拒绝域见下图.例3电视台广告部称某类企业在该台黄金时段内播放电视广告后的平均受益量(平均利润增加量)至少为15万元,差为3.4万元,已知这类企业广告播出后的受益量近似服从正态分布，为此,某调查公司对该电视台广告播出后的此类企业进行了随机抽取容量为20的样本,得平均收益量为13.2万元,调查，标准试在显著性水平α=0.05下判断该广告部的说法是否正确?解:为判断该说法是否正确,可做如下假设01H:15H:15在α=0.05水平下,由于总体方差σ2未知,用样本方差s2代替,采用t统计量进行检验,0.05(1)(19)1.729,tnt拒绝域为由样本观测值求得02.371.729./xtsn{1.729}.t即认为广告部的说法不正确.平下检验该税务部门的报告是否正确？例4据某市税务部门统计,该市大、中、小学教师年均个调税为1000元，为核实这种说法，随机抽取30名教师进行调查，测得年个调税为1100，标准差为300元，假定该市教师的年个调税服从正态分布，试在5%的显著性水解：依题意，可提出如下假设01H:1000,H:1000由于σ未知，采用t检验法.在20,0.05n条件下，0.97512(1)(29)2.045,tnt故拒绝域为{2.045}.t由样本观测值求得0110010001.826./300/30xtsn样本未落入拒绝域中，故在5%的显著性水平下知报告是正确的。二、方差的假设检验—2检验12,,,nXXX设样本来自正态总体2(,),N假设下面检验22220010H:,H:（8.2.3）1、期望为已知时对方差的假设检验0总体2~(,),XN当式（8.2.3）中原假设成立时，由抽222010()~()niiXn样分布定理，（8.2.4）故对给定的显著性水平α，取拒绝域为2222122{()or()}Wnn（8.2.5）2、期望未知时对方差的假设检验由抽样分布定理，当式（8.2.3）中原假设成立时，统计量222222100(1)1()~(1)niinsXXn（8.2.6）故对给定的显著性水平α，取拒绝域为2222122{(1)or(1)}Wnn（8.2.7）其折断力服2(,),N从正态分布通常22064,今从一批产品中抽出10根作折断力试验，结果如下（单位：kg）：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570问能否认为这批金属丝的折断力方差仍为64(α=0.05)?例3某车间生产的金属丝，质量较稳定.解:该问题是在总体期望未知时来检验假设22220010H:64;H:由题中所给数据计算得1(578572570)575.210x2221()(578575.2)(572575.2)niixx2(570575.2)681.6代入式(8.2.6)得2统计量的观测值2221011()681.610.6564niixx2221011()681.610.6564niixx对于给定的α=0.05,查自由度为19n的2分布的分位数22/20.025(1)(9)2.7n221/20.975(1)(9)19.023n由式(8.2.7)知,该检验问题的拒绝域为22{2.719.023}Wor而这里222/21/2(1)(1)nn属丝折断力的方差与64无显著差异.即样本观测值落在拒绝域之外,故接受原假设,认为该批金以上对方差的检验属于双侧检验,22220010H:;H:(8.2.8)22220010H:;H:(8.2.9)22220010H:;H:(8.2.10)关于假设检验问题它与假设检验问题式(8.2.8)在同一显著性水平α下的检验方法是一样的,其他的单侧检验也类同.已知保险丝的熔化时间服从正态例4某车间生产一种保险丝,规定保险丝熔化时间的方差不得超过400.今从一批产品中抽处25个,测得其熔化时间的方差为388.58,试根据所给数据,检验这批产品的方差是否符合要求(α=0.05).分布.另外还有单侧检验:解:根据所提要求,欲检验假设为22220010H:400;H:统计量式(8.2.6)的观测值2220(1)[phone].31400ns考虑到检验问题为单侧检验,2210H:成立时,当测值会有增大的趋势,2观因此,对给定的0.05,有221{(1)}Pn即220.95{(24)}0.05.P查2分布分位数表得临界值20.95(24)36.415显然,221(1),n即观测值落在拒绝域之外,故接受原假设.内容小结检验法U检验t检验2检验条件0H1H检验统计量拒绝域已知未知未知0000000000002202202202202202200/xUn0/xtsn2220(1)ns1/2{}uu1{}uu{}uu1/2{(1)}ttn1{(1)}ttn{(1)}ttn221/222/2{(1)(1)}nn或221{(1)}n22{(1)}n正态总体均值,方差2的假设检验