不定积分公式总结

1不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫xadx=xa+1a+1+C(a≠−1)(2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫axdx=axlna+C(4)∫sinxdx=−cosx+C(5)∫cosxdx=sinx+C(6)∫tanxdx=−ln|cosx|+C(7)∫cotxdx=ln|sinx|+C(8)∫secxdx=ln|secx+tanx|+C(9)∫cscxdx=ln|cscx−cotx|+C(10)∫sec2xdx=tanx+C(11)∫csc2xdx=−cotx+C(12)∫dx1+x2=arctanx+C(13)∫dxx2+a2=1aarctanxa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫𝑑𝑥√1−𝑥2=arcsin𝑥+𝐶(17)∫𝑑𝑥√𝑎2−𝑥2=arcsin𝑥𝑎+𝐶(18)∫𝑑𝑥√𝑥2±𝑎2=ln|𝑥+√𝑥2±𝑎2|+𝐶(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|𝑥+√𝑥2±𝑎2|+𝐶二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)𝐷𝑛=∫𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥(详情请查阅教材166页)则𝐷𝑛=−cos𝑥𝑠𝑖𝑛𝑛−1𝑥𝑛+𝑛−1𝑛𝐷𝑛−2(求三角函数积分)易得𝐷𝑛：n为奇数时，可递推至D1=∫sinxdx=−cosx+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2xdx=x2−sin2x4+C；(2)𝐼𝑛=∫𝑑𝑥(𝑥2+𝑎2)𝑛(详情请查阅教材173页)则𝐼𝑛+1=12𝑛𝑎2𝑥(𝑥2+𝑎2)𝑛+2𝑛−12𝑛𝑎2𝐼𝑛易得𝐼𝑛可递推至𝐼1=∫dxx2+a2=1aarctanxa+C2（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子例1：∫x√5+x−x2dx注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和配方可以得到解决。∫x√5+x−x2dx=∫−12(−2x+1)+12√5+x−x2dx=−12∫d(5+x−x2)√5+x−x2+12∫1√5+x−x2dx=−√5+x−x2+12∫dx√(√212)2−(x−12)2=−√5+x−x2+12arcsin(2x−1√21)+C例2：∫x3x4+x2+1dx与例1类似，我们有：∫x3x4+x2+1dx=∫14(4x3+2x)−12xx4+x2+1dx=14∫d(x4+x2+1)x4+x2+1−14∫d(x2+12)(x2+12)2+(√32)2后面套公式就好啦例3：∫dx1+sin2x∫dxcos2x+2sin2x=∫1cos2xdx1+2tan2x=∫d(tanx)1+2tan2x3=12∫d(tanx)(√22)2+tan2x=√22arctan(tanx)+C接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。例4：∫√x√a3−x3dx=∫√x32√x√(a32)2−(x32)2d(x32)=23∫1√(a32)2−(x32)2d(x32)至此可以套用公式了例5：∫12x+3dx=∫12x1+32xdx，注意到32x的导数为−3ln212x，至此可以用凑微分法了例6：∫x1−xcotxdx=∫xsinxsinx−xcosxdx注意到sinx−xcosx的导数为xsinx第二类换元积分法（1）利用三角函数进行代换：sin2x+cos2x=1tan2x+1=sec2xcot2x+1=csc2x换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性（通过例题体会）例如以下两个基本积分公式∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C∫√𝑥2±𝑎2𝑑𝑥=𝑥2√𝑥2±𝑎2±𝑎22ln|𝑥+√𝑥2±𝑎2|+𝐶例：∫dx(x2+9)3利用tan2x+1=sec2x，令x=3tant，这里x可以取到全体实数，那么t取(−π2,π2)就可以保证x取到全体实数，因为t的范围直接影响到三角函数的正负，所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。则：∫dx(x2+9)3=393∫cos4tdt至此，∫cos4tdt有多种求法，比如说直接用递推公式，见第五页：∫𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥利用cosx=sin(π2−x)和∫𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥求得4令一种解法：∫cos4tdt=∫cos2t(1−sin2t)dt=∫cos2tdt−∫cos2tsin2tdt利用倍角公式可以解出。（2）倒代换，经常用在分母多项式次数较高的情况下例：∫√a2−x2x4dx，令x=1t，容易求出原函数(二)分部积分法∫μdν=μν−∫νdμ应用分部积分法时，需要把被积函数看作两个因式μ及dν之积，如何选取这两者是很关键的，选取不当，将使积分愈化愈繁.积分时应注意dν比较好积，同时μ的选取应使其倒数比μ简单，两者应兼顾。例：∫xearctanx(1+x2)32dx=earctanxx√1+x2−∫earctanx(1+x2)32dx=earctanxx√1+x2−[earctanx1√1+x2−∫−xearctanx(1+x2)32dx]=earctanxx−1√1+x2−∫xearctanx(1+x2)32dx则：∫xearctanx(1+x2)32dx=x−12√1+x2earctanx+C这个函数就有多种拆分方法，需要我们多尝试几次才能解出，并且用到了轮换，应注意。其实∫sin(lnx)dx也用到了轮换，详情请查阅教材165页。一般情况下，被积函数形如eaxsinbx，eaxcosbx，Pm(x)eax，Pm(x)sinbx，Pm(x)cosbx，Pm(x)(lnx)n，Pm(x)arctanx，⋯就可以尝试分部积分法轻松求得原函数，其中Pm(x)表示m次多项式。5例xxxexd)1(2Cxedexxedxxexdedxxedxxedxxedxxexedxxeexdxxxexxxxxxxxxxxxx11111111)1(1)1(1)1()1()1(2222(三)特殊函数积分法1、有理函数的不定积分参考教材171页有关有理函数分解定理的说明，比较繁琐，但要掌握。关键在于将有理函数分解为要求的形式，并会解决分解后的各种函数的积分，其实我们可以将其归结为两种形式：(1)∫b(x−a)mdx(其中a,b为常数，m为正整数)当m=1时，∫b(x−a)mdx=bln|x−a|+C当m≠1时，∫b(x−a)mdx=b(x−a)−m+1−m+1+C(2)∫cx+d(x2+ax+b)ndx(其中a,b,c,d为常数，n为正整数)对于分子，我们可以将其凑为x2+ax+b的导数和某一常数之和，第一部分容易求得，第二部分利用第一页的递推公式：𝐼𝑛=∫𝑑𝑥(𝑥2+𝑎2)𝑛(详情请查阅教材173页)则𝐼𝑛+1=12𝑛𝑎2𝑥(𝑥2+𝑎2)𝑛+2𝑛−12𝑛𝑎2𝐼𝑛易得𝐼𝑛可递推至𝐼1=∫dxx2+a2=1aarctanxa+C以下几例用于练习有理式的分解和计算：6例1：∫dxx3+1例2：∫dxx4+1=∫dx(x2+1)2−(√2x)2=∫dx(x2+1+√2x)(x2+1−√2x)例3：∫dxx6+1(教材175页的方法较为简便)2、三角函数有理式的积分常用技巧：（1）凑微分例1：∫sinmxcosnxdx若m和n都是偶数，利用sin2x+cos2x=1将其化为同名函数。若m或n为奇数，则拆开一个凑成微分，然后再化为同名函数，之后再利用（二、）中的递推公式。例2：∫cosxsin3x+cos3xdx=∫11+tan3xd(tanx)利用已经解得的∫dxx3+1的结果补充一点：∫𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥利用cosx=sin(π2−x)和∫𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥求得∫𝑡𝑎𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥=∫𝑡𝑎𝑛𝑛−2𝑥(1𝑐𝑜𝑠2−1)𝑑𝑥=𝑡𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−1−∫𝑡𝑎𝑛𝑛−2𝑥𝑑𝑥这就得到了∫𝑡𝑎𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥的递推公式，事实上还可以将其看作∫sinmxcosnxdx的特殊形式，只不过m=-n罢了，当然可以用∫sinmxcosnxdx的求解方法。(2)倍角公式、积化和差例：∫sin5xsin7xdx(3)分项技巧例1：∫1sin4xcos2xdx=∫sin2x+cos2xsin4xcos2xdx=∫1sin2xcos2xdx+∫1sin4xdx至此第一项可以继续分项或者利用倍角公式，第二项可以直接套用（二、）中的递推公式或者利用分部积分求解，实际上递推公式也是由分部积分法得到的。例2：∫dxsin(x+α)sin(x+β)=∫1sin(α−β)sin[(x+α)−(x+β)]sin(x+α)sin(x+β)dx=1sin(α−β)∫[cos(x+β)sin(x+β)−cos(x+α)sin(x+α)]dx，这里利用了三角和公式，至此可以直接套用基本积分表了。(α≠β)例3：∫dxsin3x+cos3x=∫13[2sinx+cosx+sinx+cosxsin2x−sinxcosx+cos2x]dx=23∫dx√2cos(x−π4)+23∫−d(cosx−sinx)(cosx+sinx)2+17=23√2ln|sec(x−π4)+tan(x−π4)|−23arctan(cosx−sinx)+C（此题较为复杂，大家需要认真看）（4）配凑法例xxbxaxIdsincoscos假设xxbxaxIdsincoscos1，xxbxaxIdsincossin2则21bIaI得到121dCxxbIaI---------（1）21-aIbI得到221|sincos|ln)sincosd(sincos1dsincossincos-CxbxaxbxaxbxaxxbxaxaxbaIbI------（2）由（1）与（2）解得：.|sincos|ln22221CxbaaxbxababI.|sincos|ln22222CxbabxbxabaaI（5）万能公式：(1)令μ=tanx2，则sinx=2μ1+μ2cosx=1−μ21+μ2tanx=2μ1−μ2dx=21+μ2(三角函数次数较低时效果较好)(2)令μ=tanx，则sinx=±√μ21+μ2cosx=±√11+μ2(注意正负号的判断)dx=11+μ2(三角函数次数较高时效果较好）例：∫dx2+sinx(用第一种变换)=∫dμμ2+μ+1(转化为容易的有理积分)3、简单无理函数的积分（1）当被积函数是x与√(ax+b)(cx+d)⁄n的有理式时，采用变换μ8=√(ax+b)(cx+d)⁄n，就可化为有理函数的积分例：∫√1+x√x3dx=∫1x√1+xxdx，设t=√1+xx代换即可（2）当被积函数是x与√ax2+bx+c的有理式时，通常先将ax2+bx+c配方，再用三角变换化为三角有理式的积分或直接利用积分公式计算。例：∫dx1+√x2+2x+2=∫dx1+√(x+1)2+1，令x+1=tant即可附：另类题目：确定A和B，使下式成立∫dx(a+bcosx)2=Asinxa+bcosx+B∫dxa+bcosx解：两边同时求导，化简整理可得：Ab+Ba+(Aa+Bb)cosx=1从而有：{Ab+Ba=1Aa+Bb=0当a2≠b2时，解得A=−ba2−b2，B=aa2−b2当a2=b2时,无解。