3--多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布•3.1二维随机变量及其分布函数•3.2边缘分布•3.3二维随机变量的条件分布•3.4随机变量的独立性•3.5二维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量及其分布函数第三章多维随机变量及其分布图示e)(eYS)(eX,{},()(),(,)ESeXXeYYeSXY　　设是一个随机试验它的样本空间是设和是定义在上的随机变量由它们构成的一个向量叫作二维随机向量或二维随机变量。3.1.1二维随机变量及其分布函数1.定义第三章多维随机变量及其分布实例1炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量。实例2考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W)。说明因此逐个地研究X或Y的性质还不够，还要将(X,Y)作为一个整体来研究。二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。第三章多维随机变量及其分布2.二维随机变量的分布函数(1)分布函数的定义{()((,),,,:(,){,}(,))}PXxYyXYxyFxyPXxYyXYXY设是二维随机变量对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数。第三章多维随机变量及其分布xoy),(yxyYxX,如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标。则分布函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在如图所示，以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。第三章多维随机变量及其分布由分布函数，可计算事件P{x1Xx2,y1Yy2}的概率为：1212{,}PxXxyYy22(,)Fxy1y2y1x2x22(,)xy12(,)xy21(,)xyxoy1212,xXxyYy11(,)xy12(,)Fxy21(,)Fxy11(,)Fxy第三章多维随机变量及其分布(2)分布函数的性质o21211(,),,(,)(,),FxyxyyxxFxyFxy是变量和的不减函数即对于任单变量的单调性意固定的当时).,(),(,1212yxFyxFyyx时当对于任意固定的o01,()2,Fxy,y对于任意固定的,0),(lim),(yxFyFx且有,x对于任意固定的,0),(lim),(yxFxFy.1),(lim),(yxFFyx,0),(lim),(yxFFyx第三章多维随机变量及其分布o3(,)(0,),(,)(,0),(,),.FxyFxyFxyFxyFxyxy单变量的即关于右连右连续续关于也右连续性,,),,(),,(421212211oyyxxyxyx对于任意22211112.(,)(,)(,)(,)0FxyFxyFxyFxy有证明12120{,}PxXxyYy22(,)Fxy12(,)Fxy21(,)Fxy11(,)Fxy22211112(,)(,)(,)(,)0.FxyFxyFxyFxy第三章多维随机变量及其分布若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量。3.1.2二维离散型随机变量定义3.3第三章多维随机变量及其分布2.二维离散型随机变量的分布律11121,0ijijijpp。(,)(,),,1,2,,{,},,1,2,,(,),ijijijXYxyijPXxYypijXYXY设二维离散型随机变量所有可能取的值为记称此为二维离散型随机变量的分布律或随机变量和的联合分布律。联合分布律的性质：第三章多维随机变量及其分布二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为XY21ixxxjyyy2112111ippp22212ippp21ijjjppp分布函数为,(,)ijijxxyyFxyp第三章多维随机变量及其分布例3.1设X表示随机的在1~4的4个整数中取出的一个数,Y表示在1~X个整数中随机地取出的一个数,求X与Y的联合分布律及分布函数。解：由题意知，{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1,2,3,4，且是等可能的；然后j取不大于i的正整数。由乘法公式求得(X,Y)的分布律。11{,}{}{|},41,2,3,4,.PXiYjPXiPYjXiiiji其中第三章多维随机变量及其分布XY123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16于是(X,Y)的分布律为第三章多维随机变量及其分布例3.2设随机变量Y服从参数为=1的指数分布，随机变量试求X1和X2的联合分布律。解Y的分布函数为X1和X2有4组可能值(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)10111YXY20212YXY10()00yeyFyy12(0,0)PXX(1)PY12(0,1)PXX()P(1,2)PYY(1,2)PYY(1)F11;e0;第三章多维随机变量及其分布12(1,0)PXX(12)PY12(1,1)PXX(2)PYX1和X2的联合分布律为01011X2X011e12ee2e(1,2)PYY(1,2)PYY(2)(1)FF12;ee1(2)F2.e第三章多维随机变量及其分布将(X,Y)看成一个随机点的坐标,则离散型随机变量X和Y的联合分布函数为(,)ijijxxyyFxyp其中和式是对一切满足xix,yjy的i,j来求和的.第三章多维随机变量及其分布(,)(,),(,),(,)(,)dd,(,),(,)(,),yxXYFxyfxyxyFxyfuvuvXYfxyXYXY对于二维随机变量的分布函数如果存在非负的函数使对于任意有则称是连续型的二维随机变量函数称为二维随机变量的概率密度或称为随机变量和的联合概率密度。定义3.53.1.3二维连续型随机变量第三章多维随机变量及其分布.1),(dd),()2(Fyxyxf.dd),(}),{(GyxyxfGYXP.0),()1(yxf2.性质内的概率为落在点平面上的一个区域是设GYXxoyG),(,)3(.),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf则有连续在若第三章多维随机变量及其分布表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1。,dd),(}),{(GyxyxfGYXP,1dd),(yxyxf3.说明{(,)},(,)PXYGGzfxy的值等于以为底以曲面为顶面的柱体体积。,(,)zfxy几何上表示空间的一个曲面。第三章多维随机变量及其分布例3.3设(X,Y)的密度函数为(2)求(X,Y)的分布函数F(x,y);(1)求常数k;解(1)由性质2(23)0,0(,)0xykexyfxy其它(3){(2)1}PXY求1(,)ddfxyxy(23)00xykedxdy16k所以。6k第三章多维随机变量及其分布(2)(,)(,)yxFxyfxydxdy00xy当且时23(1)(1)0,0(,)0xyeexyFxy其它0xy0,x当时(,)00yxFxydxdy0,y当时(,)00yxFxydxdy(23)00(,)yxxyFxyedudv23(1)(1)xyee第三章多维随机变量及其分布323221(1)/261240.513500xyxedxedyee(3){(,)}(,)DPXYDfxydxdy21xyD011/2xy{(,)|0,0,21}Dxyxyxy。第三章多维随机变量及其分布1.均匀分布定义设D是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在D上服从均匀分布。.,0,),(,1),(其他DyxSyxf3.1.4两个常用的分布第三章多维随机变量及其分布2.二维正态分布若二维随机变量(X,Y)具有概率密度2222212121212)())((2)()1(21221e1π21),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且均为常数其中),,(yx记为正态分布的二维服从参数为则称.,,,,),(2121ρσσμμYX),,,,(~),(222121ρσσμμNYX第三章多维随机变量及其分布二维正态分布的图形第三章多维随机变量及其分布推广n维随机变量的概念112212,{},(),(),,(),(,,,)nnnESeXXeXXeXXeSnXXXnn设是一个随机试验它的样本空间是设是定义在上的随机变量由它们构成的一个定义维随机向维向量叫做或维量随机变量。12,,,,nnxxxn对于任意个实数元函数},,,{),,,(221121nnnxXxXxXPxxxF12(,,,)nXXX联称为随机变量的数。合分布函第三章多维随机变量及其分布3.2边缘分布第三章多维随机变量及其分布二维随机变量(X,Y)作为一整体,具有分布函数F(x,y),而X和Y都是一维随机变量,也有自己的分布函数,分别记为FX(x),FY(y),依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.XFxPXx,,YFyPYyPXYyFy3.2.1边缘分布函数,PXxY,Fx第三章多维随机变量及其分布+1()(,)ijiXijijxxyxxjFxFxpp()()()iXixxFxPXxPXx又1(),1,2,iijjPXxpi故X的分布律为+1()(,)ijjYijijxyyyyiFyFypp()()()jYjyyFyPYyPYy又1(),1,2,jijiPYypj故Y的分布律为第三章多维随机变量及其分布11(,){,},,1,2,.{},1,2,,{},1,2,,(1,2,)(1,2,)(,)ijijiijijjijjiijXYPXxYypijppPXxippPYyjpipjXYXY设二维离散型随机变量的联合分布律为记分别称和为关于和关于的定义边缘分布律。3.2.2二维离散型随机变量的边缘分布律第三章多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的边缘分布}{ixXPjjp1jjp2jijpiip1iip2iijp{}iPYy1第三章多维随机变量及其分布1()(,)iXijxxjFxFxp1()(,)jYijyyiFyFyp因此得离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为第三章多维随机变量及其分布补充例3.5袋中装有2只白球及3只黑球，现分别进行无放回、有放回的摸球，定义下列随机变量。10X第一次摸出白球第一次摸出黑球10Y第二次摸出白球第二次摸出黑球XY试求随机变量和的联合分布律与边缘分布律。第三章多维随机变量及其分布0101YX1解（）无放回3254325423542154XY随机变量和的联合分布律与边缘分布律为2只白球及3只黑球{}iiPXxp{}jjPYyp352513525第三章多维随机变量及其分布注意联合分布边缘分布0101YX2