高数(大一上)复习资料

1创创中心第二弹来啦~~我爱学习，创创中心一直在身边。一样是，纯、干、货，含金量高，便于打印看重点。我们就是我们。一样的体贴~高等数学（大一上）复习资料第一节数列的极限数列极限的证明【题型示例】已知数列，证明nxlimnxxa【证明示例】语言N1．由化简得，nxagn∴Ng2．即对，。当时，始终有不等式成立，0NgNnnxa∴axnxlim第二节函数的极限时函数极限的证明0xx【题型示例】已知函数，证明xfAxfxx0lim【证明示例】语言1．由化简得，fxA00xxg∴g2．即对，，当时，始终有不等式成立，0g00xxfxA∴Axfxx0lim时函数极限的证明x【题型示例】已知函数，证明xfAxfxlim【证明示例】语言X1．由化简得，fxAxg∴gX2．即对，，当时，始终有不等式成立，0gXXxfxA∴Axfxlim第三节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（★）函数无穷小xf0limxf函数无穷大xfxflim无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设为有界函数，为无穷小，则xfxglim0fxgx（定理四）在自变量的某个变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；反之，xf1fx若为无穷小，且，则为无穷大xf0fxxf1第一节极限运算法则极限的四则运算法则（定理一）加减法则2加减：数乘：　（其中c是一个常数）（定理二）乘除法则关于多项式、商式的极限运算pxxq设：nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp110110则有0lim00baxqxpxmnmnmn000lim00xxfxgxfxgx0000000,00gxgxfxgxfx（特别地，当（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断00lim0xxfxgx点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（定理五）若函数是定义域上的连续函数，那么，xf00limlimxxxxfxfx第二节极限存在准则及两个重要极限夹逼准则第一个重要极限：1sinlim0xxx∵，∴2,0xxxxtansin1sinlim0xxx0000lim11limlim1sinsinsinlimxxxxxxxxxx（特别地，）000sin()lim1xxxxxx单调有界收敛准则3第二个重要极限：exxx11lim（一般地，，其中）limlimlimgxgxfxfx0limxf第一节无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（★★）1．~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1UUUUUUUe2．UUcos1~212（乘除可替，加减不行）第二节函数的连续性函数连续的定义（★）000limlimxxxxfxfxfx间断点的分类（P67）（★）（特别地，可去间断点能在分式中）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极约去相应公因式）第三节闭区间上连续函数的性质零点定理（★）【题型示例】证明：方程至少有一个根介于与之间fxgxCab【证明示例】1．（建立辅助函数）函数在闭区间上连续；xfxgxC,ab2．∵（端点异号）0ab3．∴由零点定理，在开区间内至少有一点，使得，即ba,0（）0fgC104．这等式说明方程在开区间内至少有一个根fxgxCba,导数与微分第一节导数1．基本概念（1）定义40000000000()()()()()|(|)'()limlimlimxxxxxxxfxxfxfxfxdydfxyfxdxdxxxxx或注：可导必连续，连续不一定可导.注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.（2）左、右导数.0'000000()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx.0'000000()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx存在.0'()fx''00()()fxfx（3）导数的几何应用曲线在点处的切线方程：.()yfx00(,())xfx000()'()()yfxfxxx法线方程：.0001()()'()yfxxxfx2．基本公式（1）（2）'0C'1()aaxax（3）（特例）（4）()'lnxxaaa()'xxee1(log)'(0,1)lnaxaaxa（5）（6）(sin)'cosxx(cos)'sinxx（7）（8）2(tan)'secxx2(cot)'cscxx（9）（10）(sec)'sectanxxx(csc)'csccotxxx（11）（12）21(arcsin)'1xx21(arccos)'1xx5（13）（14）21(arctan)'1xx21(arccot)'1xx（1522221[ln()]'xxaxa3．函数的求导法则（1）四则运算的求导法则()'''uvuv()'''uvuvuv2''()'uuvuvvv（2）复合函数求导法则--链式法则设，则的导数为：.(),()yfuux(())yfx[(())]''(())'()fxfxx例5求函数的导数.21sinxye（3）反函数的求导法则设的反函数为，两者均可导，且，则()yfx()xgy'()0fx.11'()'()'(())gyfxfgy（4）隐函数求导设函数由方程所确定，求的方法有两种：直接求导法和公式法()yfx(,)0Fxy'y.'''xyFyF（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数4．高阶导数二阶以上的导数为高阶导数.常用的高阶求导公式：（1）特别地，()()ln(0)xnxnaaaa(n)()xxee6（2）()(sin)sin()2nnkxkkxn（3）()(cos)cos()2nnkxkkxn（4）()1(1)(1)nnnnxx（5）()()(1)(2)(1)knknxkkkknx（6）莱布尼茨公式：，其中()()()0()nnknkknkuvCuv(0)(0),uuvv第二节微分1．定义背景：函数的增量.()()yfxxfx定义：如果函数的增量可表示为，其中是与无关的常数，则称y()yAxoxAx函数在点可微，并且称为的微分，记作，则.()yfx0xAxxdydyAx注：,ydyxdx2．可导与可微的关系一元函数在点可微，微分为函数在可导，且.()fx0xdyAx()fx0x0'()Afx3．微分的几何意义4．微分的计算（1）基本微分公式.'()dyfxdx（2）微分运算法则②四则运算法则7()duvdudvduvvduudv2()uvduudvdvv②一阶微分形式不变若为自变量，；u(),'()'()yfudyfuufudu若为中间变量，，，u()yfu()ux'()'()'()dyfuxdxfudu作业习题1、求下列函数的导数。（1）；（2）；（3）；223)1(xxyxxysinbxeyaxsin（4）；（5）；（6）。)ln(22axxy11arctanxxyxxxy)1(2、求下列隐函数的导数。（1）；（2）已知求。0)cos(sinyxxy,exyey)0(y3、求参数方程所确定函数的一阶导数与二阶导数。)cos1()sin(tayttax)0(adxdy22dxyd4、求下列函数的高阶导数。（1）求；（2）求。,xy)(ny,2sin2xxy)50(y5、求下列函数的微分。（1）；（2）。)0(,xxyx21arcsinxxy6、求双曲线，在点处的切线方程与法线方程。12222byax)3,2(ba7、用定义求，其中并讨论导函数的连续性。)0(f,0,1sin)(2xxxf.0,0xx作业习题参考答案：1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223xxxxxxy8]))(1(2[)1(3223222xxxxxxxxxx2)1(2)1(323222。)37)(1(222xxx（2）解：。2sincos)sin(xxxxxxy（3）解：bxbebxaebxeyaxaxaxcossin)sin(。)cossin(bxbbxaeax（4）解：][1])[ln(222222axxaxxaxxy])(211[1222222axaxaxx]2211[12222xaxaxx。]1[12222axxaxx221ax（5）解：)11()11(11)11(arctan2xxxxxxy。11)1()1()1()1(2)1(2222xxxxxx（6）解：)(])1[(1lnxxxxexxy]1ln)1()1()1([)1(2xxxxxxxxxxx。)1ln11()1(xxxxxx2、（1）解：两边直接关于求导得x0)1)(sin(cossinyyxxyxy9。)sin(sin)sin(cosyxxyxxyy（2）解：将代入原方程解得0x,1y原方程两边直接关于求导得，x0yxyyey上方程两边关于再次求导得x,02)(2yxyyeyeyy将，代入上边第一个方程得，0x,1y1)0(ey将，代入上边第二个方程得。0x,1y1)0(ey2)0(ey3、解：；),cos1(tadtdxtadtdysin；2cot)cos1(sinttatadtdxdtdydxdy。2csc41)cos1(1)212csc()(4222tatatdxdtdxdydtddxyd4、（1）解：；；……1xy2)1(xy依此类推。)1(,)1()1()(nxnynn（2）解：设,,2sin2xvxu则，)50,,2,1)(22sin(2)(kkxukk),50,,4,3(0,2,2)(kvvxvk代入萊布尼茨公式，得2)2482sin(2!249502)2492sin(250)2502sin(2)2sin(4849250)50(2)50(xxxxxxxy。)2sin212252cos502sin(2250xxxxx5、（1）解：.),1(ln)(lnxxeyxxxdxxxdyx)1(ln（2）解：]122arcsin111[112222xxxxxxy