拉格朗日中值定理与高考数学

拉格朗日中值定理与高考数学[1]拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：（i）f在闭区间[,]ab上连续；（ii）f在开区间(,)ab内可导；则在,ab内至少存在一点，使得'fbfafba.1、证明fxax或fxax成立（其中0x）[2]例：（2007年高考全国卷I第20题）设函数xxfxee.（Ⅰ）证明：fx的导数'2fx；（Ⅱ）证明：若对所有0x，都有fxax，则a的取值范围是(,2].（Ⅰ）略.（Ⅱ）证明：（i）当0x时，对任意的a，都有fxax(ii)当0x时，问题即转化为xxeeax对所有0x恒成立.令00xxfxfeeGxxx，由拉格朗日中值定理知0,x内至少存在一点（从而0），使得'00fxffx，即'Gxfee，由于''000feeee，故'f在0,x上是增函数，让0x得''min02Gxfeef，所以a的取值范围是(,2].评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令gxfxax，再分2a和2a两种情况讨论.其中，2a又要去解方程'0gx.但这有两个缺点：首先，为什么a的取值范围要以2为分界展开.其次，方程'0gx求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.二、证明2(),2abgagbgbaba成立例：（2004年四川卷第22题）已知函数ln(1),lnfxxxgxxx.（Ⅰ）求函数fx的最大值；（Ⅱ）设02aba，证明：2()ln22abgagbgba.（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：依题意，有'ln1gxx2222abababgagbggbggga由拉格朗日中值定理得，存在,,,22ababab，使得''lnln2222ababbabagbgggagg4lnlnlnln2222babbaababaaa评注：对于不等式中含有,,2abgagbgab的形式，我们往往可以把2abgga和2abgbg，分别对2abgga和2abgbg两次运用拉格朗日中值定理.三、证明1212fxfxxx成立[3][4]例：(2OO6年四川卷理第22题)已知函数22ln(0),fxxaxxfxx的导函数是'fx，对任意两个不相等的正数12,xx，证明：（１）当0a时，121222fxfxxxf（２）当4a时，''1212fxfxxx.证明：（１）不妨设12xx，即证12122122xxxxfxfffx．由拉格朗日中值定理知，存在12121122,,,22xxxxxx，则12且1222xxfxf'2122xxf，'12211122xxxxffxf又'22()2afxxxx，''3242afxxx.当0a时，''0fx.所以'()fx是一个单调递减函数，故''12ff从而12122122xxxxfxfffx成立，因此命题获证．（２）由22lnfxxaxx得，'22()2afxxxx，令'gxfx则由拉格朗日中值定理得：'1212()gxgxgxx下面只要证明：当4a时，任意0,都有'1g，则有'324g21axxx，即证4a时，24axx恒成立.这等价于证明24xx的最小值大于4.由于22342234xxxxx，当且仅当32x时取到最小值，又3434a，故4a时，32421axx恒成立.所以由拉格朗日定理得：''12121212()gxgxgxxgxxxx.评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.四、证明1212fxfxxx或1212fxfxxx成立例：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数sin2cosxfxx.（Ⅰ）求fx的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x，都有fxax，求a的取值范围.（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：当0x时，显然对任何a，都有fxax；当0x时，00fxfxfxx由拉格朗日中值定理，知存在0,x，使得'00fxfxffxx.由（Ⅰ）知'22cos12cosxfxx，从而''22sin2coscos12cosxxxfxx.令''0fx得，21,22xkk；令''0fx得，2,21xkk.所以在21,22kk上，'fx的最大值''max1223fxfk在2,21kk上，'fx的最大值''max123fxfk.从而函数'fx在2,22kk上的最大值是'max13fx.由kN知，当0x时，'fx的最大值为'max13fx.所以，'f的最大值'max13f.为了使'fa恒成立，应有'maxfa.所以a的取值范围是1,3.评注：这道题的参考答案的解法是令gxaxfx,再去证明函数gx的最小值min0gx.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数a,要对参数a进行分类讨论;其次为了判断gx的单调性,还要求'0gx和'0gx的解,这个求解涉及到反余弦arccos3a,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.五、证明0,()fxxa成立，（其中0fa）例：（2007年安徽卷18题）设20,1ln2ln0afxxxaxx.（Ⅰ）令'Fxxfx，讨论Fx在0,内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当1x时，恒有2ln2ln1xxax.（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：即证0fx，由于1x，则111fxfxfxx.由拉格朗日中值定理得，存在1,x，使得'11fxffx.由（Ⅰ）的解题过程知'221lnafxxxx，所以''22222222lnln1afxxxaxxxx.令''0fx得，1axe.令''0fx得，11axe.故'fx在1,x上最小值'1minafxfe1111212210aaaaaaeeee.所以''min0ffx.从而01fxx.又1x，则0fx成立，从而当0x时，2ln2ln1xxax成立.评注：这道题的参考答案是用（Ⅰ）中Fx在0,内的极小值20F得到'0Fxxfx.又1x，所以'0fx.从而fx在1,上单调递增,故fx的最小值min10fxf，所以2ln2ln1xxax.但是如果没有（Ⅰ），很难想到利用'Fxxfx来判断fx的单调性.而用拉格朗日中值定理证明，就不存在这个问题.六、证明1212fxfxxx或1212fxfxxx（其中12xx）例：（2009年辽宁卷理21题）已知函数21()(1)ln,12fxxaxaxa（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）证明：若5a，则对任意12,0,xx，12xx，有1212()()1fxfxxx.（Ⅰ）略；（Ⅱ）'1212()()fxfxfxx.由（Ⅰ）得，'1afxxax.所以要证1212()()1fxfxxx成立，即证'11afa.下面即证之.令2(1)1gaa，则214115aaaa.由于15a，所以0.从而0g在R恒成立.也即21aa.又12,xx，12,0,xx，故0.则211aa，即'11afa，也即1212()()1fxfxxx.评注：这道题（Ⅱ）小题存在两个难点：首先有两个变量12,xx；其次a的值是变化的.参考答案的解法是考虑函数gxfxx.为什么考虑函数gxfxx？很多考生一下子不易想到.而且'gx的放缩也不易想到.拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理.是解决函数在某一点的导数的重要工具.近年来，不少高考压轴题以导数命题，往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求解.但初等数学的方法往往计算量较大.这时，用拉格朗日中值定理交易解决.充分体现了高等数学的优越性，有力反驳了“高数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴趣.从以上六道题目与参考答案不同的解法中，我们可以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导作用.近几年，高观点下的高考命题颇受命题者的青睐.因此加强对高等数学的研究就显得很有必要.参考文献[1]华东师范大学数学系编.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007[2]陈素贞.一道高考题的别解[J].福建中学数学，2009（4）[3]李惟峰.拉格朗日中值定理在中学数学中的应用[J].数学教学通讯，2008（8）[4]管雪冲，王颖.站”高”再看高考题[J].高等数学研究，2009（1）