信号分析与处理第2版-赵光宙(第3-4章)习题答案

第三章离散信号的分析1.(1)（方法1）设)(1tx是一宽度为2，幅度为1的三角波信号。由于)(1tx可由两个幅度为1，宽度为1的矩形信号)(1tg卷积构成，即)()()(111tgtgtx∗=因为)2()(1ωSatgF⎯→←故，利用Fourier变换的卷积特性，可得)2()(21ωSatxF⎯→←利用Fourier变换的线性特性和尺度变换特性，即可求出如图所示宽度为0T，幅度为1的三角波)(tx的频谱函数为{})4(2222)2()(02002001TSaTTSaTTtxFtxFωω⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=（方法2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤−+≤≤+−=02122012)(0000tTtTTttTtx)4(2)44sin(2)4(sin8)4(sin21442cos44224)1(2)1(2)1(4)1(2)1(2)1(2)1(21112111222)12()()(02020000220022020020202202202022022020202202202022022202202T000202020020000000000000000000TSaTTTTTTTTTTTTeTeTTejTejTjTjTejTejTjTjjejejTjejejjejTjedtedtteTdtedtteTdtedtetTdtetxXTjTjTjTjTjTjTjTjTjTjTjTjTtjtjTtjTtjTtjTtjtjωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω⋅=⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⋅−=−−=+⋅+−=⋅−⋅+⋅+⋅−=+−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−⋅−++−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−⋅+−=+−+=++==−−−−−−−−−−−−−−−∞∞−−∫∫∫∫∫∫∫(2)∑∞−∞=⋅−=nTTntt)8()(01δδ为周期冲激信号。令801TT=对)(1tTδ进行Fourier级数展开得：∑∞−∞==ntjnTenXt11)()(1ωωδ其中0161622118)(8)(1)(001111TdtetTdtetTnXTTtjnTTtjT===∫∫−−−−ωωδδω所以∑∞−∞==ntjnTeTt1108)(ωδ对上式进行Fourier变换，可得∑∞−∞=−⎯→←nFTnTt)(28)(101ωωπδδ由于采用信号)()()(1ttxtxTsδ⋅=利用Fourier变换的频域卷积特性∑∑∑∑∑∞−∞=∞−∞=∞−∞=∞−∞=∞−∞=−=−=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−∗=nnnnnsnTSanTSaTnTSaTnSaTTnTXtx)44(4)416(4)4(44)(28)(28)(21)(020201020120010πωπωωωωωωωπδωπ(3)将)(tx以周期0T重复，构成周期信号)(txp，求对)(txp以80T进行理想采用所构成的采样信号)(txps的频谱)(ωpsx。由题意知，)(txp为将)(tx以周期0T进行周期延拓构成的周期信号，∑∞−∞=−=npnTtxtx)()(0，（由频域采样定理知：时域的周期化，对应于频域的离散化。）即{})()(0tXXTpδωω⋅=）（。由于)()(00nTttT−=δδ，对其进行Fourier级数展开得：∑∑∞−∞=∞−∞===ntjnntjnTeTenXt000001)()(ωωωδ，对上式求Fourier变换，∑∑∞−∞=∞−∞=−=−⎯→←nnFTnnTt)()(21)(00000ωωδωωωπδδ。故∑∑∑∑∑∞−∞=∞−∞=∞−∞=∞−∞=∞−∞=−⋅=−⋅⋅=−⋅⋅=−⋅⋅=−⋅=nnnnnpnnSannSanTnSaTnTSaTnXX)()2()()2()()4(2)()4(2)()()(02020000200002000ωωδππωωδππωωδωωωωδωωωωδωωω而由于)()()(1ttxtxTppsδ⋅=，利用Fourier变换的频域卷积特性∑∑∑∑∑∑∞−∞=∞−∞=∞−∞=∞−∞=∞−∞=∞−∞=−−=−−=−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−∗⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−⋅=−∗=nnnpnnnpsnnnSannnSaTnXTnTnnSanTXtx)()2(4)()2(8)(8)(28)()2(21)(28)(21)(0120012010101210pωωωδπωωωωδππωωωωπδωωδπππωωπδωπ(4)由频域采样定理知，对)(ωX进行频率采样，若想不失真地恢复信号)(tx，需其时域的采样间隔mtT20≥，即频域的采用间隔mtπω≤0。3.解：正弦序列)4516sin(ππ+n，因为85161051622===Ωπππ为有理数，所以该序列为周期序列，其周期为5=N6.(1))3()21()(1+=nunxn（方法1）：12)2()2(1)2()2(1)2()21()()(41333311−=−⋅=⋅=⋅===ΩΩΩ−ΩΩ∞−=Ω∞−=−Ω∞−=Ω−∞−∞=Ω−∑∑∑∑jjjjnnjnnjnnjnnnjeeeeeeeenxx（方法2）：1216211)21()2(1)1(21()21()()(4333n311−=−⋅=⋅=⋅===ΩΩΩΩ−Ω∞−=Ω∞−=Ω∞−=Ω−∞−∞=Ω−∑∑∑∑jjjjnnjnnjnnjnnnjeeeeeeeenxx）(3)⎪⎩⎪⎨⎧==其它0,4,2,0)21()(3Lnnxn解：1)2()2()2(11)21(11)21()21(1)()()(2222244202333−=−=⋅−=+⋅+⋅+===ΩΩ−ΩΩ−Ω−Ω−∞=Ω−∞−∞=Ω−∑∑jjjjjjnnjnnjeeeeeeenxenxnxL7.求图3-49所示)(Ωx的反DTFT解：由反DTFT计算式，⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω+Ω=ΩΩ=ΩΩ=∫∫∫∫−−ΩΩΩ−Ω4434342021)(21)(21)(ππππππππππdddxdxnxeeeenjnjnjnj⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+−=−−−−)4sin(2)43sin(221*2121434344443434nnnnjnjnjnjneeeeeeeejnjnjnjnjnjnjnjnπππππππππππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=)4sin()43sin(1nnnπππ8.设)()(Ω↔xnxDTFT对于如下序列，用)(Ωx表示其DTFT(3))2()(−−nxnx利用DTFT的线性时移特性：)()2(2Ω↔−Ω−xnxejDTFT所以)()()2()(Ω−↔−−Ω−xnxnxnxenjDTFT（4）)1(*)(−nxnx利用DTFT的时域卷积性质特性10.（2）)4cos(nπ因为8422==Ωπππ8=N420ππ==ΩN由公式知：eeeenjnjnjnjn4444212124cosπππππ−−+=+=（1）eenkjknjkNkkxkxnx4700100)()()(0π∑∑=Ω−=Ω=Ω=（2）对比式（1）和式（2）得：⎩⎨⎧−==Ω其它01,121)(0kkx12.设)(txa是周期连续时间信号，)500cos()200cos()(tBtAtxaππ+=以采样频率kHzfs1=对其进行采样，计算采样信号ttnxsntax==)()(的DTS解：kHzfs1=，sfTss001.01==22)5.0cos()2.0cos()()(5.05.02.02.0eeeexnjnjnjnjntaBAnBnATtnxSππππππ−−=+++=+==eeeenjnjnjnjBBAAππππ5.05.02.02.02222−−+++=（*）因为)2.0cos(nπ的周期为N1=10；)5.0cos(nπ的周期N2=4所以20=N(即N1和N2的最小公倍数为N)故ππ1.020==ΩN)()()1(*)(Ω⋅Ω↔−Ω−xxnxnxejDTFT（2）由IDFS得定义可知njkknjkNkekxekxnxπ1.01900100)()()(0∑∑=Ω−=Ω=Ω=（**）对比式（*）和式（**），得⎪⎩⎪⎨⎧===Ω其它015,5218,22)(0kBkAkx17.解：{}0,2,3,3,1)(↑=nx，{}0,1,1,1,1)(↑=nh，（方法1）：54545256545240522331)2()2()1()0()()(πππππππjkjkjkjkjkjknnjkeeeexexexxenxkX−−−−−−=−+++=+++==∑（方法2）：∑∑=−=−=−=⊗=405510)())(()()())(()()()()(mNmNNnRmnhmxnRmnhmxnhnxny92331)1()4()2()3()3()2()4()1()0()0()0(=+++=⊗+⊗+⊗+⊗+⊗=hxhxhxhxhxy6231)2()4()3()3()4()2()0()1()1()0()1(=++=⊗+⊗+⊗+⊗+⊗=hxhxhxhxhxy7331)3()4()4()3()0()2()1()1()2()0()2(=++=⊗+⊗+⊗+⊗+⊗=hxhxhxhxhxy92331)4()4()0()3()1()2()2()1()3()0()3(=+++=⊗+⊗+⊗+⊗+⊗=hxhxhxhxhxy8233)0()4()1()3()2()2()3()1()4()0()4(=++=⊗+⊗+⊗+⊗+⊗=hxhxhxhxhxy由DFT的时域圆周卷积性质：)()()()(KHKXnhnxDFT⋅⎯⎯→←⊗题目已知)()()(YKHkXk⋅=，所以)(Yk的DFT反变换{}89769)()()(↑=⊗=nhnxny19.（1）nanx=)(解：求解过程可参考P143教材例3-21.讨论：当aa1≥时，由于（2）⎩⎨⎧−−≤≤=1,00101)(NnnNnnx解：)()()(Nnununx−−=1)(−⎯→←zznuZ由Z变换的时移特性，1)(−⋅=−−zzzNnuNNZzzzzzNnunu−⋅−−−⎯→←−−∴11)()(，收敛域：除0=z外的整个平面。（4）nnx=)()0(≥n解：L+++===−−−∞=−∞−∞=−∑∑321032)()(zzznzznxzXnnnn由于L+++=−−−−432132)(zzzzXz由上两式可得：11432111)()(−−−−−−−−=++++=−zzzzzzzXzzXL1z所以111111)(−−−−⋅−=zzzzX1z21.（1）2z，所以)(22nuzznZ⎯→←−)()21(21nuzznZ⎯→←−即)()21()(2)(nununxnn+−=（2）5.0z，所以)1(22−−⎯→←−nuzznZ)1()21(21−−−⎯→←−nuzznZ即)1()21()1(2)(−−−−−=nununxnn（3）25.0z，所以)(212nuzznZ）（⎯→←−)1(221−−−⎯→←−nuzznZ即)()21()1(2)(nununxnn+−−=第四章信号处理基础作业在p202页4.(1)解：)(sin)(txty=该系统是因果的。（由于系统在任何时刻的输出值，只取决于该时刻和该时刻以前的输入值，而与将来时刻的输入值无关）(2))(sin)()(111txtytx=→)(sin)()(222txtytx=→令)(sin)(sin)(213tbxtaxtx+=（ba,为任意常数）)()()(sin)(sin)(sin)()(2121333tbytaytbxtaxtxtytx+=+==→故系统是线性的。5.(1)解：)1()(2−=txtty)1()()(1211−=→txttytx)1()()(2222−=→txttytx令)(sin)(sin)(213tbxtaxtx+=（ba,为任意常数）[])()()1()1()1()1()1()1()1()()(21221222122123233tbytaytxtbtxtatbxttaxttbxtaxttxttytx+=−⋅+−⋅=−+−=−+−=−=→线性。)1()()(1211−=→