3.3线性方程组的解

第三节线性方程组的解第三章二、基础解系及其求法四、小结一、齐次线性方程组的性质三、非齐次线性方程组的性质１．解向量的概念设有齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1）一、齐次线性方程组解的性质,aaaaaaaaaAmnmmnn212222111211nxxxx21则上述方程组（1）可写成矩阵方程.Ax01212111nnx,,x,x若为方程的0Ax解，则121111nx称为方程组(1)的解向量.若记２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则21x,x0Ax21x0Ax也是的解.证明02121AAA0021A,A.Axx的解也是故021（2）若为的解，为实数，则也是的解．1x0Axk1kx0Ax证明.kkAkA0011由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．0Ax10.kAx故也是的解如果解系的基础称为齐次线性方程组,0,,,21Axt;0,,,)1(21的解的一组线性无关是Axt.,,,0)2(21出线性表的任一解都可由tAx１．基础解系的定义二、基础解系及其求法的通解可表示为那么的一组基础解系为齐次线性方程组如果0AxAxt,,0,,,21ttkkkx221112,,,.tkkk其中是任意常数２．线性方程组基础解系的求法111,1,10010000nrrrnrbbbbA于是可化为A设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．rAARAr00000100121,1,111nrnrrrnxxxbbbbnrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx11111110Ax现对取下列组数：nrx,,x1rnnrrxxx21nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx1111111分别代入.,100,010,001依次得rxx1,bbr0011111,0102122rbb.bbrn,rrn,rn1001从而求得原方程组的个解：rn.bb,rn,rrn,1,bbr212,bbr111,下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．rn,,,21100,,010,001由于个维向量rnrn线性无关，所以个维向量亦线性无关.rnnrn,,,2112(1),,,.nr证明线性无关.,,,2)(21线性表示可由证明解空间的任一解都rn.11方程组的一个解为上述设Tnrrx,,,,rn的线性组合再作21rnnrr2211由于是的解故也是的解.rn,,,210Ax0Ax,.下面来证明0011111rrbb0102122rrbb1001rn,rrn,nbbrnnrr2211nrrrcc211,Ax的解都是方程与由于0又等价于而0Axnrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11,11111,都是此方程组的解与所以nrrrcc211nrrr211由.c,,crr11方程组.故.rnnrr2211即所以是齐次线性方程组解空间的一个基.rn,,1说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．.kkkxrnrn2211３．若是的基础解系，则其通解为rn,,,210Ax.,,,21是任意常数其中rnkkk定理.,)(,0rnSrARSxAnnmnm的维数为解空间时当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合的全体解所元齐次线性方程组);0,(,,)(维向量空间为向量此时解空间只含一个零系故没有基础解方程组只有零解时当nAR.,,,,,,,,,,,,)(1111221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn解空间可表示为为任意实数其中方程组的解可表示为此时基础解系个向量的方程组必有含时当例1求齐次线性方程组的基础解系和通解076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解76513123115531234111A对系数矩阵施行初等行变换11143011310000000000,rn,n,rAR352即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.123452345433xxxxxxxxx代入11143011310226202262543xxx令,010,001.100345xxx选，，为自由未知量，所以原方程组的一个基础解系为,001121故原方程组的通解为.kkkx332211.k,k,k为任意常数其中321,xx1221依次得.12,31,010312.100123例2).()(ARAART证明证.,维列向量为矩阵为设nxnmA;0)(,0)(,0xAAAxAAxxTT即则有满足若.0,0)()(,0)(,0)(AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知即则满足若,0)(0同解与综上可知方程组xAAAxT).()(ARAART因此1212(1),0.xxAxbxAx设及都是的解则为对应的齐次线性方程组的解证明.021bbA.021Axx满足方程即bAbA21,１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明AAA.的解是方程所以bAxx(2),0,.xAxbxAxxAxb设是的解是的解则仍是方程的解0bb.11rnrnkkx其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.rnrnkk11２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为３．与方程组有解等价的命题:bAx;,,,21线性表示能由向量组向量nb;,,,,,,,2121等价与向量组向量组bnn.,,,,,,,2121的秩相等与矩阵矩阵bBAnn线性方程组有解bAx４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于方程组中方程的个数与未知量的个数相同且系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．12345123452345123457,3232,22623,534312.xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解11111731213202126235343112B例3求下述方程组的解1111170212623000000000000.,知方程组有解由BRAR2,3RAnr.100,010,001543xxx令345xxx选，，为自由未知量，先求对应的齐次线性方程组的基础解系：且原方程组等价于方程组123452345722623xxxxxxxxx.10032,01010,0012121321故得对应的齐次线性方程组的基础解系依次得.32,10,212121xx代入对应的齐次线性方程组12345234502260xxxxxxxxx1231202921213232.100001000010xkkk.,,321为任意常数其中kkk故所求通解为再求非齐次线性方程组的一个特解：3450xxx令123452345722623xxxxxxxxx代入12923,.22xx得１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结Axb有解nBRARnBRAR.有无穷多解bAxBRAR.无解bAx.有唯一解bAx２．线性方程组解的情况RARAb满足的三个解向量方程组如果非齐次线性且矩阵是设321,,.1,3bAxARmA,32121,1103210113.的通解求bAx思考题,1)(,3ARmA矩阵是解思考题解答.2130无关的解向量个线性的基础解系中含有Ax则令,,,133221cba,21231)(211bca,23230)(213acb,25210)(212