最优化练习题一

最优化练习题1．设A为mn阶矩阵，nbR，试证集合{|,,0}nSxxRAxbx为凸集。2．试证平面上椭圆22221xyab所包围的区域为凸集。3．判断下列函数为凸函数或凹函数或严格凸函数或严格凹函数：（1）221212(,)23fxxxx；（2）2221231231231(,,)22712fxxxxxxxxxx4．设()fx为定义在凸集D上的凸函数，试证()fx的任何局部极小点同时也必为全局极小点。5．设n阶矩阵0TQQ，非零向量12,,,()nnpppRmn为Q共轭的，证明：（1）12,,,nppp线性无关；（2）若n维向量x和12,,,nppp为Q共轭的，则x=0。6．设()TTfxxAxbx，2112A，(3,3)Tb，取1(0,0)Tx，1(1,0)Tp，2(1,2)Tp，试证由共轭方向法产生的3x为()fx的最优解。7．设1()2TTfxxQxbxc，0TQQ，试证由精确线搜索的共轭梯度法中，有TkkkTkkgddQd8．取初始点0(0,0)Tx，并且设定净度误差0.01，试利用最速下降法求解下面的优化问题：222112212min243xRxxxxxx9．考虑极小化问题1min()2nTTxRfxxAxbx，其中0TAA，nbR。记函数()()gxfxAxb。设从kx点出发，利用精确搜索的最速下降法求出改进点1kx，证明：（1）最速下降法的迭代公式形如1TkkkkkTkkggxxggAg，其中()kkggx；（2）一步迭代中引起目标函数的下降量为21()()()2TkkkkTkkggfxfxgAg。10．研究形如1TkkkkkHHZZ的迭代校正公式，使之满足拟牛顿方程，（1）试确定,kkZ，从而证明1()()()TkkkkkkkkTkkkksHysHyHHysHy；（2）试证对于二次函数有1kkkHys。11．利用DFP方法求解下列问题：22121min242xxx，其中初始点0(2,1)Tx，0HI。12．利用外点罚函数法或内点罚函数法求解下列问题：（1）22122min()(1)..()10fxxxstgxx（2）312121min()(1)12..100fxxxstxx