概率论与数理统计(南理工)

概率与统计第二讲概率的定义及性质开课系：理学院统计与金融数学系主讲教师:陈萍教授e-mail:[e-mail]主页一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)，则每盒至多有一球的概率是：nnNNAp某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？3.分组问题例330名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组101010302010()NSCCC30人(1)(2)(3)30!20!110!20!10!10!30!10!10!10!!!....!1mnnn一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第i组恰有ni个球(i=1,…m)，共有分法：27!3!509!9!9!(1)()()203PANS30人(1)(2)(3)(2)解法一(“3名运动员集中在一个组”包括“3名运动员都在第一组”,“3名运动员都在第二组”,“3名运动员都在第三组”三种情况.)71010107101010727201027171027177()30!10!10!10!18203CCCCCCCCCPB71010272010318()30!20310!10!10!CCCPB30人(1)(2)(3)(2)解法二(“3名运动员集中在一个组”相当于“取一组有3名运动员,7名普通队员,其余两组分配剩余的20名普通队员.)答:每组有一名运动员的概率为50/203;3名运动员集中在一个组的概率为18/203.4随机取数问题例4从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/2552张扑克平均分发给甲、乙、丙、丁4个人，求(1)甲拿到4个A的概率(2)4个A在一个人手上的概率。(3)每人手上都有A的概率。994848131352521212121248362412131313135239261341144(1),(2)4165416542197(3)20825CCCCCCCCCCCC答：！某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，P（A）=？(一）频率定义事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).§4频率与概率nnAfAn)(历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005频率的性质(1)0fn(A)1；(2)fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝，则fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，满足：(1)非负性:P(A)≥0；(2)归一性:P(S)＝1；(3)可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有P(A1A2…)＝P(A1)＋P(A2)+….则称P(A)为事件A的概率。概率的公理化定义2.概率的性质P(10-11)0)()1(P证:......SS()()()...()...PSPSPP()...()...0PP()0P而()0P(2)有限可加性：设A1，A2，…An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,n,则有niinAPAAP11)()...(证:1212.........nnAAAAAA1212(...)(......)nnPAAAPAAA121()()...()()nniiPAPAPAPA(3)单调不减性：若事件AB，则P(A)≥P(B)证:PAPBPABBAB且0PAPBPABABABPAPB(4)对于任一事件A,1)(APPAPABPABABAB且PABPAPAB(5)事件差A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)AABAB证:(6)加法公式：对任意两事件A、B，有P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)该公式可推广到任意n个的情形,例如PABPBPABBAB且()PBPAPABABBAB证:()()()()()()()PABCPAPBPCPABPBCPACPABC(7)互补性)(1)(APAPSAA证:AA且1()PSPAAPAPA)(1)(APAP例4.1.某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报%80000%103%30答:他至少订有一种报纸的概率为80%.例4.2.在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数既不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。解:设A—取到的数能被2整除;B--取到的数能被3整除21)(AP103)(BP故)()()()()1(ABPBPAPBAP101)(ABP107)(1)()2(BAPBAP103)()()()3(ABPAPBAP52袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？1,2,...,109!1(),1,2,...,1010!10iPAi人i答：设A表示第i取到红球,i若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？例5.1设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球.1(1)(|)4PBA522312)()2(25ABP10112)()3(25AABP§5条件概率与独立性一、定义S=ABA——第一次取到红球,B——第二次取到红球显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则AABnnABP)|(称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p13)一般地，设A、B是S中的两个事件，则()()PABPAABAnnnn()(|)(5.2)()PABPBAPA“条件概率”是“概率”吗？何时P(A|B)=P(A)?何时P(A|B)P(A)?何时P(A|B)P(A)?概率P(A)，满足：(1)P(A)≥0；=P(B|A)=P(AB)/P(A)≥0(2)P(S)＝1;=P(S|A)=P(AS)/P(A)=1(3)可列可加性设BC=¢,P(BC|A)=P{(BC)A}/P(A)=P(BACA)/P(A)=P(BA)/P(A)+P(CA)/P(A)=P(B|A)+P(C|A)例5.2一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A--从盒中随机取到一只红球.B--从盒中随机取到一只新球.60An40ABn32)|(AABnnABP某牌号的电视机使用到3万小时的概率为0.6，使用到5万小时的概率为0.24，一台电视机已使用到3万小时，求这台电视机能使用到5万小时的概率。解:设A={使用到3万小时},B={使用到5万小时}，于是()0.6,()()0.24PAPABPB则()()0.4()PABPBAPA设A、B为两个事件，P（A）0,则P(AB)＝P(A)P(B|A).(5.1)式(5.1)就称为事件A、B的概率乘法公式。式(5.1)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).二、乘法公式例5.3盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP某商店搞抽奖活动.顾客需过三关,第i关从装有i+1个白球和一个黑球的袋子中抽取一只,抽到黑球即过关.连过三关者可拿到一等奖.求顾客能拿到一等奖的概率.123121312()()()(|)(|)111134560PBPAAAPAPAAPAAA解:设Ai:“顾客在第i关通过”;B:“顾客能拿到一等奖”,答:顾客能拿到一等奖的概率为1/60.三、独立性定义设A、B是两事件，若P(AB)＝P(A)P(B)(5.2)则称事件A与B相互独立。注：当P(A)≠0,式(5.2)等价于：P(B)＝P(B|A)两事件独立从一付52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？A与B是否独立解:411311P(A)==;PB==；P(AB)=;521352452P(AB)=P(A)P(B)∴A与B独立。12123P(A)=;P(AB)==;135213P(AB)=P(A)P(B)∴A与B独立定理以下四件事等价(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。证:(1)=(2)设A、B相互独立,即P(AB)=P(A)P(B),()()()()()()PABPBPABPBPAPB()[1()]()()#PBPAPBPA(4)=(1)设事件A、B相互独立,即P(AB)=P(A)P(B),()11()PABPABPAPBPAB1[1][1][1()][1()]PAPBPAPB1111()()()()()()#PAPBPAPBPAPBPAPB定义若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足：(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、