2.3数学归纳法(上课)

2.3数学归纳法2.3数学归纳法课题引入不完全归纳法,1,1},{11nnnnaaaaa已知观察数列,212a,313a,414anan1:猜想归纳通项公式回想等差数列通项公式的推倒过程：像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。21aad32aad43aad......211aad32aad312aad43aad413aad......110aad1234,,,,:aaaa由的表达式我们得到11naand*,nN对一切都有费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时的值都是质数，提出猜想得到的．半个世纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）发现＝4294967297＝6700417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．122n1252举例说明：一个数列的通项公式是：an=(n2－5n+5)2请算出a1=，a2=，a3=，a4=猜测an＝?由于a5＝25≠1，所以猜测是不正确的所以由归纳法得到的结论不一定可靠1111猜测是否正确呢？1)55(22nnaNnn，都有对一切思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律缺点：仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（依据）条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。思考：你认为证明数列的通项公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？nan1（1）第一块骨牌倒下；（基础）数学归纳法的概念：定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：1.先证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立(归纳奠基）；2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。这种证明方法就叫做______________。数学归纳法证明一个与正整数n有关的数学命题关键步骤如下：这种证明方法叫做数学归纳法(1)证明当n取第一个值n0时命题成立*0000,1,2,3nNnnn=或==等*0000,123nNnnn=或=或=等完成这两个步骤后,就可以断定：命题对从开始的所有正整数n都成立0n(2)假设当时,命题成立证明当时,命题也成立*0,nkkNkn1nk（基础）（依据）验证n=n0时命题成立若n=k(k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.归纳奠基归纳递推命题对从n0开始所有的正整数n都成立证明：（1）当n=1时，,1a左边,011ada右边等式是成立的（2）假设当n=k时等式成立，就是,)1(1dkaak那么daakk1ddka])1([1　　这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知等式对任何都成立Nndka]1)1[(1dnaan)1(1如果是等差数列，已知首项为公差为，那么}{na1ad对一切都成立Nn例1试用数学归纳法证明因此数学归纳法是一种科学的递推方法(1)是递推的基础(2)是递推的依据都成立。何对任时等式都成立，即等式，，，知道推下去，就时等式也成立，这样递），时等式成立，再根据（也成立。由于时等式），时等式成立，再根据（），：根据（上述结论是容易理解的Nnnnnnn65431222211211例2、用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n-1)＝n2(2)假设n＝k时，等式成立，即(1)n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立；1+3+5+…+(2k-1)＝k2那么当n＝k+1时，∴由①、②可知对任何n∈N*时，等式都成立需要证明的式子是?2)1()12()12(5311kkkkn：时，需要证明的式子是当1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）＝k2+（2k+1）＝（k+1）2这就是说，当n=k+1时，等式也成立例题3用数学归纳法证明6)12)(1(3212222nnnn证明：（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是163216)12)(1(3212222kkkk那么61)1(21)1()1(6)32)(2)(1(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(32122222222kkkkkkkkkkkkkkkkkkk这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。变式：用数学归纳法证明：12531221nnnnnnnanaaaaannnnn1),,3,2,1(11}{11证明：，，已知对于数列成立；时，）当证明：（111111an.12111111111)2(1nakkkaaaknkaknnkkkk）知，）（综上（，也成立，时，成立，则当时，假设当用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确首取值n0并验证真假。（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n＝k时成立，即这就是说，n＝k+1时也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1则当n=k+1时2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1所以等式对任何n∈N*都成立事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3左边≠右边，等式不成立该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早证明：①当n=1时，左边＝,21右边＝,212111②假设n=k时，等式成立，,2112121212132kk＋＋＋＋那么n=k+1时1322121212121kk＋＋＋＋等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即211])21(1[211k.2111k第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求思考3：下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（n∈N＊）nn2112121212132＋＋＋＋因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。思考：步骤(1)中n取的第一个值n0一定是1吗？为什么？答：不一定举例说明：用数学归纳法证明n边形的对角线的条数是32nn30n此时n取的第一值2.数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时命题成立10nn0n递推基础（2）假设时命题成立证明时命题也成立)N(0nkkkn且1kn递推依据在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立1.数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题3.数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。课堂小结