琴生不等式的高维推广

1琴生不等式的高维推广李世杰吴光耀(衢州市教育局教研室浙江324002)单保良(衢州职业技术学院，浙江324000)摘要：将琴生(Jensen)不等式作了高维推广，并由它得到了m维空间的一系列不同类型的函数不等式，它们是算术——几何平均值不等式、柯西不等式等的联合推广.关键词：琴生不等式，函数不等式，高维推广.HigherDimensionalGeneralizationofJensenInequalityLiShijieWuGuangyao（DepartmentofTeachingResearch，QuzhouEducationCommittee，Zhejiang，324002，China）DanBaoliang（QuzhouCollegeofVocationalTechuology，Zhejiang，324000，China）Abstract：ThehigherdimensionalgeneralizationofJensen’inequalityisestablished.Asby-products,aseriesofdifferentfunctioninequalitiesonm-dimensionalspaceisobtainedwhichextendtheA-GmeaninequalityandCauchy’sinequality.Keywords：Jensen’inequality；functioninequality；higherdimensionalgeneralization1．引言1905年，丹麦数学家琴生（Jensen，1859－1925）证明了如下著名的琴生不等式[1]：设f(x)是定义在实数集M上的函数，且对任意的xl、x2∈M，都有121222xxfxfxf，(1.1)则对任意的xi∈M（i=1，2，…，n），有111nniiiifxnfxn，(1.2)在文[2]中，李世杰证明了如下的“母”函数不等式：设f(x)的定义域为M（M为[a，b]，或（a，b），或无穷区间），(x)是M上的连续函数，且存在反函数．若对任意的xl、x2∈M，都有1211222xxfxfxf，(1.3)则对任意的xi∈M（i=1，2，…，n），有1111nniiiifxnfxn，(1.4)若(1.3)中等式成立的条件是x1=x2，则(1.4)中等式成立的条件是x1=x2=…=xn．本文下面先给出不等式(1.4)的一个高维推广，为方便计，引入下列记号:设M=M1×M2×…×Mm（Mi为[ai，bi]，或（ai，bi），或无穷区间，m≥1）.特别地，收稿日期：[作者简介]：李世杰，(1960-)，男，浙江东阳人，汉,中学高级教师，理学士,研究方向：解析不等式及数学教学若Mi=R+=[0,)，i=1，2，…，m，则M记作mR.2对于12,,,,1,2,,iiiimXxxxMin，11niiiX表示m维向量:111111222111,,,nnniiiimimimiiixxx其它符号意义依次类推.2．主要结论定理1设f(X)的定义域为M，i(x)是定义在Mi上的连续函数，且存在反函数，i=1，2，…，m．若对X1、X2∈M，[0,1](1,2)ipi，121pp和常数βR，都有11122()()pXpXM，且111221122()()()()pfXpfXfpXpX，(2.1)等式成立的条件是X1=X2.则对Xi∈M(1,2,,in，n≥2)，[0,1](1,2,,)ipin，11niip，都有11221111ppniiniiiiiiininpXpfXfpp(2.2)这里p是满足122ppn的整数，(1,2,,2)pipRinn，(2.2)中等式成立的条件是X1=X2=…=Xn．下面用反向数学归纳法证明这一不等式.证明首先证明n=2p(p∈N，p≥2)时，结论成立.当n=2时，由(2.1)及其等式成立的条件知结论成立.假设n=2k(k∈N，k≥2)时，结论成立，即对Xi∈M(1,2,,2ki)，有2211()kkiiiiipfXp21112()kkiiiiiXfpp，(2.3)等式成立的条件是X1=X2=…=2kX.则对Xi∈M(121,22,,2kkki)，有11222121kkkkiiiiipfXp112112221()kkkkiiiiiXfpp，(2.4)等式成立的条件是2122kkXX…12kX．又根据n=2时的结论，在(2.1)中作置换3121121()kkiiiiiXXpp，1122212112()kkkkiiiiippXX，可得1212211()kkkiiiiiiipfpXp[phone]()kkkkkkiiiiiiiXpppf1111112221212222211112122111()()kkkkkkkkkkkkiiiiiiiiiiiiiiiiiiiipppppppppXXf即1212211()kkkiiiiiiipfpXp[phone]()kkkkkkiiiiiiiXpppf1112221111()kkkiiiiiiiXfppp，(2.5)等式成立的条件是12112()kkiiiiippX112221211()kkkkiiiiipXp，.联合(2.3)、(2.4)、(2.5)得1111222211111()()kkkkiiiiiiiiiippfpXpXf(2.6)等式成立的条件是11112222111122221221122()()kkkkkkkkkkiiiiiiiiiippXXXXXppXXX，由于()ix存在反函数，必一一对应，故由上面方程组可推得不等式(2.6)中等式成立的条件是X1=X2=…=12kX．因此对n=2p(p∈N，p≥2)结论恒成立.4当2pn时，前面已证成立结论:2211()ppiiiiipfXp21112()ppiiiiiXfpp(2.7)当122ppn时，取Xn+1=Xn+2=…112122()pppiiiiiXppX，则Xn+1=Xn+2=…1122211pppniiiiiiinpXXpp，代入（2.7）式化简后即可得到（2.2）式.综上，我们就证明了不等式（2.2）结论对n≥2恒成立.定理2设f(X)的定义域为M，i(x)是定义在Mi上的连续函数，且存在反函数，i=1，2，…，m．若对X1、X2∈M和常数βR，都有112()()2XXM，且11212()()()()22XXfXfXf，(2.8)等式成立的条件是X1=X2.则对Xi∈M(1,2,,in，n≥2)，有111122nniippiifXnfXn(2.9)这里p是满足122ppn的整数，(2.9)中等式成立的条件是X1=X2=…=Xn．证明与定理1相似，首先证明n=2p(p∈N，p≥2)时结论成立，再如对(2.7)式取特值，即可获证，过程略去.定理3设f(X)的定义域为M，i(x)是定义在Mi上的连续函数，且存在反函数，i=1，2，…，m．若对X1、X2∈M，(1,2,,)ipRin和常数βR，都有112()()2XXM，且111221212()()()()2pfXpfXXXfpp，等式成立的条件是X1＝X2.则对任意的Xi∈M(1,2,,in，n≥2)，有1111122niiniinppiiipfXfXnp这里p是满足122ppn的整数，等式成立的条件是X1=X2=…=Xn．证明与定理1相似，略.3．应用5定理4设f(X)的定义域为M，i(x)是定义在Mi上的连续函数，且存在反函数，i=1，2，…，m．若对X1、X2∈M，[0,1](1,2)ipi，121pp，都有111221122()()()()pfXpfXfpXpX，（3.1）等式成立的条件是X1=X2.则对Xi∈M(1,2,,in，n≥2)，[0,1](1,2,,)ipin，11niip，都有111nniiiiiipfXfpX(3.2)等式成立的条件是X1=X2=…=Xn．证明在定理1中，取1β，由于i(x)是定义在Mi上的连续函数，必有11122()()1,2,,.iiiipXpXMim故由定理1即可得定理4中结论.定理5设f(X)的定义域为M，i(x)是定义在Mi上的连续函数，且存在反函数，i=1，2，…，m．若对X1、X2∈M，都有11212()()()()22XXfXfXf，(3.3)等式成立的条件是X1=X2.则对Xi∈M(1,2,,in，n≥2)，有1111nniiiifXnfXn(3.4)这里p是满足122ppn的整数，(3.4)中等式成立的条件是X1=X2=…=Xn．证明同定理4证明过程，在定理2中取1β即可得证.取i(x)=x，1m，定理5就变成琴生（Jensen）不等式（1.2）.定理6（均值型函数不等式）设f(X)的定义域为mR