等差数列的性质(适用于基础差的)

第2讲等差数列的定义和性质复习（一）1．等差数列的有关概念(1)一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的________等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，符号表示为__________(n∈N*，d为常数)．(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是________，其中A叫作a，b的____________．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝____________________，an＝am＋________(m，n∈N*，d为公差)．(2)前n项和公式：Sn＝________＝______________．二差A＝a＋b2等差中项an＋1－an＝da1＋(n－1)d(n－m)d（a1＋an）n2na1＋n（n－1）d2等差数列的定义和性质3．等差数列的性质(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有____________________，特别地，当m＋n＝2p时，______________．(2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d0，则数列为____________；若d0，则数列为____________；若d＝0，则数列为____________．am＋an＝ap＋aqam＋an＝2ap递减数列递增数列常数列等差数列的通项公式[例2](1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求通项公式an.(2)已知数列{an}为等差数列a3＝54，a7＝－74，求a15的值．[解](1)∵a5＝10，a12＝31，则a1＋4d＝10，a1＋11d＝31，⇒a1＝－2，d＝3.∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5∴通项公式an＝3n－5.(n∈N*)(2)法一：由a3＝54，a7＝－74，得a1＋2d＝54，a1＋6d＝－74.解得a1＝114，d＝－34.∴a15＝a1＋(15－1)d＝114＋14×(－34)＝－314.法二：由a7＝a3＋(7－3)d，即－74＝54＋4d，解得d＝－34.∴a15＝a3＋(15－3)d＝54＋12×(－34)＝－314.[活学活用]2．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，由题意知，－401＝－4n－1.得n＝100，即－401是这个数列的第100项．[活学活用]3．(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________.(2)已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.解析：(1)因为8，a,2，b，c是等差数列，所以8＋2＝2a，a＋b＝2×2，2＋c＝2b.∴a＝5，b＝－1，c＝－4.等差中项(2)由an－1＋an＋1＝2an(n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.答案：(1)5－1－4(2)21.________,30,10a}{a684naa则中，等差数列（法二）由公式求解；()nmaanmd例2：20（法三）由性质:成等差数列求解。864,,aaa解：（法一）由公式求解；dnaan)1(1（方法四）由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列；[随堂即时演练]1．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为()A．an＝3n－1B．an＝2n＋1C．an＝2n＋3D．an＝3n＋2解析：∵an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1.答案：A2．等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为()A．an＝2n－5B．an＝2n－3C．an＝2n－1D．an＝2n＋1答案：B解析：∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前3项，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.3．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．解析：设首项为a1，公差为d，由a3＝7，a11＝－1得，a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.答案：34．已知：1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为________．解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y①，y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10②，由①，②可解得x＝4，y＝7.答案：4,75．在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.解：(1)由题意，知a1＋5－1d＝－1，a1＋8－1d＝2.解得a1＝－5，d＝1.(2)由题意，知a1＋a1＋6－1d＝12，a1＋4－1d＝7.解得a1＝1，d＝2.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴a9＝2×9－1＝17.“课时达标检测”见“课时跟检测(七)”