半导体物理与器件第三章1

半导体物理与器件陈延湖第三章固体量子理论初步3.1允带与禁带3.2固体中电的传导3.3三维扩展3.4状态密度函数本章学习内容：本章解决的核心问题：半导体晶体中电子能带是如何产生的？半导体中的电子在能带中的运动规律？半导体中的电子有效质量的物理意义？半导体中的空穴的物理意义？如何解释导体、半导体、绝缘体的导电性能确定半导体能带中电子可占据能量状态的状态密度及占据这些能量状态的概率分布函数3.1允带与禁带：能带的形成（定性分析）孤立原子中的电子在原子核的势场和其它电子的作用下，分列在不同的能级上，形成所谓电子壳层不同支壳层的电子分别用1s;2s,2p;3s,3p,3d;ns…等符号表示，每一壳层上对应一些确定的能量状态，即能级。当原子相互接近形成晶体时，不同原子的内外各电子壳层之间就有了一定程度的交叠，相邻原子最外壳层交叠最多，内壳层交叠较少。1s;2s,2p;3s,3p,3d;ns…原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完全局限在某一个原子上，可以由一个原子转移到相邻的原子上去，因而，电子将可以在整个晶体中运动。这种运动称为电子的共有化运动共有化运动的产生是由于不同原子的相似壳层的交叠各原子中相似壳层上的电子才有相同的能量，电子只能在相似壳层间转移。能带的形成：晶体中电子要遵循所谓的泡利不相容原理，即任何系统中不可能有两个量子态完全相同的电子，因此晶体中电子的共有化运动将导致原子能级发生分裂。(a)为孤立氢原子的电子云径向密度分布；（b）当两个氢原子靠近之后，二者的电子云发生重叠，此时两个不同原子的电子进行共有化运动，之间产生相互作用，导致原来相同的两个n=1能级就会发生分裂，变成两个离散的能级。r0当大量原子聚集时，由于任何两个电子都不会具有相同的量子态（或量子数），因此为了安置晶体中原本相同能级上大量的电子，一个分立的能级就必须分裂为一个能带，确保每个电子占据独立的量子态，这个分裂形成的能带即允带。实际的晶体中，每个原子包含不只一个分立能级。以3壳层原子为例，当随着原子距离的缩减，最外层电子首先相互作用导致n=3的能级分裂。进一步缩减距离导致次外层(n=2)和内层原子(n=1)能级也分裂成能带。假定最终的平衡位置在r0，则处于该系统中的电子就处于一个被禁带所隔开的三个允带中。孤立原子能级与能带的对应关系发生分裂的能级组成了能带，即允带，允带之间没有能级，称为禁带。允带中能级数与孤立原子能级简并度有关，N个原子结合成晶体后，考虑简并度，s能级对应的能带有2N个能级，p能级对应能带有6N个能级。因允带内能级很多，靠的很近，允带内的能级可看成是准连续的。内壳层的电子共有化运动弱，能级分裂小，能带窄。外壳层电子特别是价电子共有化运动显著，其能级分裂厉害，能带宽。一个允带不一定同孤立原子的某个分立能级完全相对应，即存在轨道杂化，不一定能区分s能级和p能级所过渡的能带。例如：金刚石结构的硅。金刚石结构晶体，N个原子有4N个价电子，由于轨道杂化，价电子形成上下两个能带，分别包括4N个能态，两个能带并不分别与S（2N态）和P轨道（6N态）对应。根据电子先填充低能这一原理，下面一个能带填满了电子，它们相应于共价键中的电子，这个带通常称为满带或价带；上面一个能带是空的，没有电子，通常称为导带；中间隔以禁带。3.1允带与禁带：能带的形成（定量分析）半定量学习电子在固体周期势场中的薛定谔方程，分析能带的形成---K空间能带图固体中电子能带特征原子孤立能级量子力学初步量子力学的基本原理能量量子化光子能量波粒二相性德布罗意物质波戴维逊-革末电子散射实验不确定性原理phhptExpEh=2h为简约普朗克常数薛定谔波动方程一维非相对论性薛定谔波动方程一维定态薛定谔方程ttxjtxxVxtxm,,,22202222xxVEmxx求解以上方程即可得到电子波的运动状态及其满足的条件波函数的物理意义波函数用以描述粒子或系统的状态，本身是一个复函数，因而不具有物理意义波函数的模方是概率密度函数概率密度函数代表在空间中某一点发现粒子的概率。在量子力学中，无法精确确定一个电子的位置，而只能确定在某处或某个区域内电子存在的概率是多少。即电子波是一种几率波2**2,,,xxxtxtxtx各种状态电子的运动特征-受势能场作用力的情况孤立原子中的电子是在该原子的原子核和其它电子的势场中运动晶体中的电子是在严格周期性重复排列的原子间运动单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列且①固定不动的原子核的势场以及其它②大量电子的平均势场中运动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期与晶格周期相同。自由电子是在恒定为零的势场中运动自由电子运动()(,)ikxtxtAe2kk自由电子对应波函数的形式为平面波其中波数:波数k通常为矢量，其方向反映了波传播的方向，简称波矢该平面波满足一维薛定谔方程ttxjtxxVxtxm,,,22222mEk又自由电子动量与能量：212pEmpm求解该方程可知自由电子能量、波失之间的关系满足如下公式：所以自由电子的能量和速度可用波矢K表示为：km222kEm自由电子的运动模型对于波矢为k的运动状态，自由电子的能量E，动量p，速度v均有确定的数值。波矢k可用以描述自由电子的运动状态，不同的k值标志自由电子的不同状态自由电子的E和k的关系曲线，呈抛物线形状。由于波矢k的连续变化时，自由电子的能量是连续能谱，从零到无限大的所有能量值都是允许的。km222kEm222kEmkm222kEm晶体中电子电子在周期性的晶格原子势场中，产生电子共有化运动并导致能级分裂晶体中电子该周期性势场可以近似为如下理想模型：xTV晶体的周期性势场克龙尼克-潘纳模型的一维周期性势函数晶体中电子的运动晶体中电子所遵守的薛定谔方程（对一维晶格）:2220()2hdxVxxExmdx)(x为晶体中电子的波函数为晶体中位置为x处势能，根据单电子近似,该势场为周期性势场，周期为晶格常数a)()(saxVxV方程解的一般形式-布洛赫定理布洛赫证明，晶体中波函数具有如下形式（称为布洛赫波函数）：()ikxkkxuxe其中()()kkuxuxna**()()kkkkuxux即与该点处波函数的强度成正比，显然也是与晶格同周期的函数。布洛赫定理：晶体中的电子是以调幅平面波在晶体中传播。由电子波函数意义，电子在空间各点出现的几率为电子分布几率是晶格的周期函数，对每个晶胞的相应位置，电子的分布几率是一样的。波矢k描述晶体中电子的共有化运动状态。不同的k代表不同的共有化运动。布里渊区与能带利用布洛赫定理，结合克-潘势函数模型，求解薛定鄂方程我们可获得下图所示的E(k)~k关系。布里渊区与能带其特征在于当k=nπ/a（n为整数）时，能量E(K)出现不连续从而出现允带和禁带。一个允带对应的K值范围称为布里渊区。禁带出现在布里渊区的边界上。E(K)也是k的周期性函数，周期为2π/a。布里渊区与能带由于En(k)具有周期性，因而可在同一个周期内表示出E~k曲线所有允带。如波矢在-π/a到π/a范围恰为一个周期，对应第一布里渊区，所有能带结构可移至该区域，称为简约布里渊区。该区域的波矢称为简约波矢。简约布里渊区布里渊区与能带在K三维空间，金刚石结构的简约布里渊区是一个十四面体。K取值与有限边界条件对于有限晶体，在求解定态薛定谔方程时，需要采用周期性边界条件，由于周期性边界条件的限制，波矢只能取如下的分离值：2(0,1,2,3,)2(0,1,2,3,)2(0,1,2,3,)xxxyyyzzznknLnknLnknL(1-18)对应能带内的能级是准连续的能带总结能带产生原因定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用，电子发生共有化运动，使原子能级分裂形成能带。定量理论（量子力学计算）：晶体中电子在周期场中运动，满足薛定谔波动方程，其能量不连续形成能带。能带特征：固体中的电子处于一系列的分立能级上，这些能级构成一系列的允带，允带之间由禁带相隔可以证明，每一个允带中将有N个k状态，每个k状态对应一个能级，考虑到一个能级容纳两个自旋相反的电子，则可容纳2N个电子，其中N为晶体的固体物理学原胞数。对于复式格子，每个能带允许的电子数还要乘上原胞内的原子个数；对于简并能级，状态总数要乘以简并度。能带总结允带依据其填充电子的情况可分为：空带：没有被电子占据的允带满带：能量状态均被电子占据的允带导带(conductionband)：能量状态部分被电子占据的允带价带(valenceband)：能量状态已被价电子占满的允带“Ifindiscussingasemiconductorproblem,youcannotdrawanenergybanddiagram,thenyoudonotknowwhatyouaretalkingabout”HerbertKroemer,NobelPrizeforPhysics,2000