半导体物理与器件第三章3

半导体物理与器件陈延湖小结载流子的分布位置：导电电子处于导带底导电空穴处于价带顶导带价带电子空穴1()1()0pniiivalencebandiconductionbandJevev在外加电场下半导体可导电，电流为：其中n，p为载流子浓度求解能带导电的载流子浓度问题，需要知道：1能带中允许的量子态按能量如何分布-状态密度g(E)2电子在允许的量子态中如何分布-概率分布函数f(E)3计算不同温度下的载流子浓度（第四章）dEEgEfdN)()('()()ccEcEnfEgEdE3.4状态密度设在能带中能量E与E+dE之间的能量间隔dE内有量子态dZ个，体积为V，则定义状态密度g(E)为：()dZgEVdE22*()2cnhkEkEmg(E):能量E附近单位体积单位能量间隔的量子态数状态密度的推导过程：(1)计算K空间单位体积的量子态数，即K空间的状态密度(2)能量间隔dE对应的K空间体积，并与K空间状态密度相乘，得到dZ(3)根据定义计算g(E)1K空间中量子态的分布2(0,1,2,3,)2(0,1,2,3,)2(0,1,2,3,)xxxyyyzzznknLnknLnknL三维晶体，波矢K的取值L为晶体线度（大小），则晶体体积为:一组K取值对应一个允许的能量状态，根据第一章分析由于受边界条件限制nx，ny，nz取整数，K取值是不连续的，即允带内的能量是不连续的3VL1K空间中量子态的分布每一个K取值在在k空间中对应一个点，每个点由一组整数（nx,ny,nz）表示。k空间中，每一个允许的量子态的k空间代表点分布均匀，且都与一个8π3/L3的立方体相联系，即每一个8π3/L3的立方体中等效有一个允许的量子态xkykzkK空间状态密度：333311888VLV考虑电子自旋，电子的K空间状态密度为2V/8π32状态密度（单位能量的量子态数）考虑能带极值在k=0，等能面为球面，各向同性E(k）-K关系为：计算半导体导带底附近的状态密度22*()2cnkEkEm因等能面为球面，能量为E和E+dE之间的量子态数dZ对应于K空间两个球壳之间量子态数，球壳体积为23248VdZkdk24kdk则：2状态密度根据E(K)-k关系将k用能量E表示：*1/21/2(2)()ncmEEk*2nmdEkdk及代入dZ得：*3/21/223(2)()2ncmVdZEEdE*3/21/23(2)()4()nccmdZgEEEVdEh导带底附近状态密度为:/2h2状态密度（单位能量的量子态数）与能量E有抛物线关系，电子能量越大，状态密度越大还与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态密度大。同理可得价带顶附近的相应公式2222*()2xyzvphkkkEkEm3/2*1/232()4pvvmgEEEh状态密度与能量关系状态密度特征状态密度同时是体积密度和能量密度实际半导体中，由于有效质量可能有方向性，等能面不为球面，则有效质量采用平均的有效质量来计算，称为状态密度有效质量等能面不是球面（是？），各向异性的有效质量mn导带底极值不在K=0处，而且有多个对称的导带底状态实际的硅、锗半导体导带底状态密度由硅，锗导带底E(K)-K关系：2222312()2ctlkkkhEkEmm3/2*1/232()4nccmgEEEh1/3*2/32ndnltmmsmm可得导带底状态密度为：mdn为导带底电子状态密度有效质量S为对称的导带底状态数，si为6，ge为4能带特点2状态密度（单位能量的量子态数）起作用的能带是极值相重合的两个能带，分别对应轻空穴和重空穴极值在K=0处，等能面为球形。实际的硅、锗半导体价带顶状态密度由球形等能面状态密度：可得价带定状态密度为：mdp为价带顶空穴状态密度有效质量3/2*1/232()4pvvmgEEEh*1/23/22*3/21/21/23/2232()()()()4()2()(2)4()4phvvhvlVpldpVVmgEgEgEEEhmmEEEEhh3/22/3*2/3*)()(lphpdpmmm能带特点'1()()VVEVEpfEgEdE'()()ccEcEnfEgEdE3.5统计力学费米-狄拉克概率分布函数从微观上讲，每个电子所具有的能量时大时小，但从宏观上看，在热平衡状态下，多个电子按能量大小具有一定的统计分布规律性根据量子统计理论，晶体中的电子服从泡利不相容原理（每个量子态只允许存在一个微观粒子），遵循费米-狄拉克统计规律，为：01()1exp()FfEEEkTfF(E)就称作费米－狄拉克统计分布函数，简称费米分布，它反映的是能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率。而EF则称为费米能级。1费米分布函数费米（Fermi）能级是费米分布函数的重要参数，确定了费米能级即可确定电子在各个能态的分布几率，它与温度，半导体材料类型等有关。费米能级就是系统的化学势，处于热平衡的系统具有统一的化学势，也即具有统一的费米能级。电子的费米分布函数：01()1exp()FfEEEkT0kT为玻尔兹曼常数为绝对温度FE为费米能级1费米分布函数讨论不同温度下的费米分布函数特性T=0K时：:()1:()0FFEEfEEEfE比费米能级高的能级上没有电子，费米能级低的能级上有电子。绝对零度时费米能级可看作量子态是否被电子占据的能量界限1费米分布函数T0K时：:()1/2:()1/2:()1/2FFFEEfEEEfEEEfE例如：当能量比费米能级高或低时：05kT005:()0.0075:()0.993FFEEkTfEEEkTfE可见一般温度情况下：费米能级以上的量子态基本是空的，费米能级以下的量子态基本被电子所占据。而费米能级处的几率总是1/2此外，随着温度升高，电子占据高能态的几率增加，而占据低能态的几率下降1费米分布函数费米能级EF的意义：EF的位置比较直观地反映了电子占据量子态的情况。即标志了电子填充能级的水平。一般温度下费米能级以上的量子态基本是空的，而费米能级以下的量子态基本被电子所占据EF越高，说明有较多的能量较高的量子态上有电子占据。考虑量子态密度g(E)是能量E的连续函数，如左图中的曲线所示，假设系统中的电子总数为N0，在T=0K时，电子在这些量子态上的分布情况如图中虚线所示。电子首先从低能级开始往上填充，最后使得费米能级EF以下的能级全部填满，而EF以上的能级全部为空。只要已知g(E)和N0，则可以很方便地确定费米能级EF。2费米-狄拉克分布的玻尔兹曼近似0FEEkT0exp()1FEEkT001exp()exp()FFEEEEkTkT0()()exp()exp()exp()FFFBEEEEfEfEkTkTkT所以：令：exp()FEAkT当时则：()BfE称为电子的玻尔兹曼分布函数()exp()BEfEAkT2玻尔兹曼分布函数()(FiiEEE本征为禁带中心能级）1.12gEev0.56cFciEEEEev所以，导带底电子满足玻尔兹曼统计规律。在室温时对本征硅：0.026kTeV0.560.026cFEEeVeV量子态被空穴占据几率011()1exp()FfEEEkT上式为空穴的玻尔兹曼分布函数，其中：0FEkTBe当时0FEEkT01()exp()exp()FEEEfEBkTkT()fE1()fE表示能量为E的量子态被电子占据的几率，所以就是能量为E的量子态被空穴占据的几率:量子态被空穴占据几率能量E增加，空穴的占有几率增加。费米能级EF增加，空穴占有几率下降，电子填充水平增加。电子和空穴的分布几率相对费米能级是对称的简并与非简并半导体因导带中的电子主要分布在导带底，价带中的空穴主要分布在价带顶在半导体中，最常见的是费米能级位于禁带内，且满足EcEvEF0FvEEkT0cFEEkT服从玻尔兹曼分布的电子系统称为非简并系统，相应的半导体称为非简并半导体；所以导带中的电子分布，及价带中的空穴分布可以用玻尔兹曼分布函数描述。服从费米分布的电子系统称为简并系统，相应的半导体称为简并半导体；本章小结能带的形成，能带的分类，E-k能带图固体导电机理电子有效质量、空穴状态密度函数费米分布函数费米能级玻尔兹曼近似GaAs和Si的能带图，直接带隙和间接带隙半导体