巧用面积法 妙解几何题

巧用面积法妙解几何题人教版八年级数学上册映山中学严正霞何谓面积法•在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系，从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。•抓住面积不但能把平面几何知识变得更容易学，而且使几何问题变得更简捷，更有趣味。温故知新填空：1.若△ABC≌△DEF，且△ABC的面积为25，则△DEF的面积为。2.已知AD为△ABC的中线，则S△ABD与S△ACD的大小关系为。3.(1)平行四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形△ABC、△ADC，则S△ABC与S△ADC的大小关系为。(2)平行四边形ABCD的边AD上有一点E，连结EB、EC，则S△EBC与S平行四边形ABCD的关系为。4.已知直线a∥b，点M、N为b上两点，点A、B为a上两点，连结AM、AN、BM、BN，则S△AMN与S△BMN的大小关系为。25S△ABD=S△ACDS△ABC=S△ADCS△ABD=1/2S平行四边形ABCDS△AMN=S△BMN用面积法解几何问题常用到下列性质：•全等三角形的面积相等；•三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；•平行四边形的对角线把其分成面积相等的两部分；•三角形的面积等于同底（或等底）等高的平行四边形的面积的一半；•同底（或等底）等高的三角形面积相等。例题讲解•证线段相等例1.已知：△ABC中，∠A为锐角，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：BD=CE.ABCDE分析：此题运用三角形全等可以解决，但考虑到有“高”，不妨用面积法来试试，可用S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD来完成。证明：∵△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E∴S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD又AB=AC∴BD=CE用面积法好简单哟！变式训练1.已知：等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：DE=DF.ABCDFE分析：此题用三角形全等可完成，但题中出现两条“垂线段”，可考虑面积法，连接AD，则S△ABD=S△ACD，由AB=AC，可得DE=DF.2.平行四边形ABCD中，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，求证：BE=DF变式训练ABCDEF分析：此题可以用平行四边形和全等三角形的知识解决，但出现两条“垂线段”，且都垂直于同一条线段，可考虑面积法，根据S平行四边形ABCD=2S△ABC=2S△ADC可得证。•证线段的和差关系例2.（1）已知：△ABC中，AB=AC，P为底边BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PD+PE=BF.ABCPFED分析：此题可构造矩形来证明，但较麻烦。考虑到题中有三条“垂线段”，可尝试面积法。连接AP，根据S△ABC=S△ABP+S△ACP，结合AB=AC，可得证。证明：∵BF⊥AC于F∴S△ABC=1/2AC·BF∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E∴S△ABP=1/2AB·PD，S△ACP=1/2AC·PE∵S△ABC=S△ABP+S△ACP∴1/2AC·BF=1/2AB·PD+1/2AC·PE∵AB=AC∴PD+PE=BF（2）若P为△ABC的底边BC的延长线上一点，其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并证明。ABCPFDE分析：虽然题目条件发生了变化，但思路不变，方法不变，还是用面积法。连接AP，根据S△ABC=S△ABP-S△ACP，结合AB=AC，可得到正确的结论:PD-PE=BF。证明：∵BF⊥AC于F∴S△ABC=1/2AC·BF∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E∴S△ABP=1/2AB·PD，S△ACP=1/2AC·PE∵S△ABC=S△ABP﹣S△ACP∴1/2AC·BF=1/2AB·PD﹣1/2AC·PE∵AB=AC∴PD﹣PE=BF3.（1）已知等边△ABC内有一点P，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D、E、F，又AH为△ABC的高，求证：PD+PE+PF=AH.变式训练AHEFDBCP分析：考虑到题中出现了三条“垂线段”和一条“高”，可尝试面积法。连结PA、PB、PC，根据S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP，由AB=BC=AC，可得证PD+PE+PF=AH（2）若P是等边△ABC外部一点，其他条件不变，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由。ABCFDEHP分析：此题的条件虽然发生了变化，但是思路、方法不变，还是应用面积法。连结PA、PB、PC，根据S△ABC=S△ABP+S△ACP－S△BCP，由AB=BC=AC，可得正确结论：PD+PF－PE=AH•证角相等例3.点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接BD、AE交于O点，再连接OC，求证：∠AOC=∠BOC.ABCDEO分析：要证∠AOC=∠BOC，可证点C到AO、BO的距离相等，如此就要过C点作CP⊥AE于P，CQ⊥BD于Q，证CP=CQ，可考虑面积法，证△ACE≌△DCB,则有S△ACE=S△DCB且AE=BD，可得CP=CQ。PQ证明：过点C作CP⊥AE于P，CQ⊥BD于Q，∵△ACD、△BCE是等边三角形∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠ECB=60°∴∠ACE=∠DCB=120°∴△ACE≌△DCB∴S△ACE=S△DCB，AE=BD∴CP=CQ∴OC平分∠AOB，即∠AOC=∠BOC.变式训练4.在平行四边形ABCD的两边AD、CD上各取一点E、F，使AF=CE，且AF与CE交于点P，连接BP，求证：BP平分∠APC分析：要证BP平分∠APC，可证点B到AP、CP的距离相等，故过B作BG⊥AF于G，BH⊥CE于H，连接BF、BE。由于AF=CE，只要S△ABF=S△BCE即可，而S△ABF=S△BCE=1/2S平行四边形ABCD，所以BG=BH，命题得证。ABCDFEGH课堂小结•面积法是平面几何中论证线段关系的一种较简单的数学方法；•使用面积法的前提是：题中要有“垂线段”，若没有“垂线段”，则要结合角平分线的性质或判定构造“垂线段”；•使用面积法解题的关键在于：抓住图形之间的面积关系，进而利用面积公式转化为线段关系。要记住哟！课后练习1.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上一点，连接AM，若将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点B′处，那么点M到AC的距离是。2.△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则PE+PF=。ABCMB′第1题CPBAEF第2题3.△ABC中，AB＞AC，BD和CE分别为AC、AB上的高，求证：BD＞CE.4.以△ABC的边AB、AC为边长，在BC的同侧作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FH，过点A作AD⊥BC于D，延长DA交FH于点M，求证：FM=HM.ABCDE第3题ABCEFGHMD第4题※5.设E是△ABC的角平分线AD上一点，连接EB、EC，过C作CF∥BE交AB的延长线于F，过B作BG∥EC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.（提示：S△BEF=S△BEC=S△CEG）AFGBCDE第5题※6.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，求证：AB︰AC=BD︰CD.（提示：AB︰AC=S△ABD︰S△ACD）※7.Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知AB=c，AC=b，BC=a，CD=h，求证：1/a2+1/b2=1/h2（提示：a2+b2=c2）ABCD第6题CABD第7题