4.4：椭球面1

§4.4椭球面定义4.4.1在直角坐标系下，由方程1222222czbyax（4.4-1）所表示的曲面叫椭球面，或称椭圆面，方程(4.4-1)叫做椭球面的标准方程，其中,ac,b为任意的正常数，通常假定.cba现在我们从方程(4.4-1)出发来讨论椭球面的一些最简单的性质.一、因为方程(4.4-1)仅含有坐标的平方项，可见当),,(zyx满足(4.4-1)时，点),,(zyx也一定关于三坐标平面，三坐标轴及坐标原点都对称.1222222czbyax（4.4-1）满足，其中正负号可任意选取，所以椭球面(4.4-1)椭球面的对称平面，对称轴与对称中心分别叫做它的主平面，主轴与中心。xyz01.对称性椭球面关于坐标原点、各坐标面、坐标轴对称zyx0MNz(x,y,z)1222222czbyax椭球面与它的三对称轴即坐标轴的交点分别为),0,0,(a),0,,0(b),,0,0(c这六个点叫做椭球面的顶点2.顶点同一条对称轴上的两顶点间的线段以及它们的长度cba22,2与叫做椭球面(4.4-1)的轴，轴的一半，即中心与各顶点间的线段及它们的长度cba与,叫做椭球面(4.4-1)的半轴，当cba时，a2分别叫做椭球面的长轴，中轴与短轴.cb22与Oxyz2a2b2c2a2b2c而cba与,分别叫做椭球面的长半轴，中半轴与短半轴.显然任何两轴相等的椭球面一定是旋转椭球面，例如当cba时，方程(4.4-1)就变成1222222czbyax（4.4-1）222221xyzab它是由椭圆222210xyabz绕x轴旋转而成.它是一个长形旋转椭球面.cba所以旋转椭球面与球面都是椭球面的特例.由此可以想到椭球面的大致形状.椭球面当三轴不等时，叫做三轴椭球面.而三轴相等的椭球面就是球面.1222222czbyax2222xyza下面继续讨论一般椭球面的形状特点.对称性和顶点已经讨论因为椭球面(4.4-1)上任意一点的坐标),,(zyx总满足,,,czbyax因此椭球面完全被封闭在一个长方体的内部，这个长方体由六个平面：czbyax,,所组成.1222222czbyax（4.4-1）xyzOijk3.有界性二、下面讨论椭球面的形状为此我们考虑曲面与一组平行平面的交线，这些交线都是平面曲线.当我们对这些平面曲线的形状都已清楚时，曲面的大致形状也就可以看出来了.这就是所谓利用平行平面的截口来研究曲面形状的方法，简称为平行截割法，为了方便起见，常取与坐标面平行的一组平面.ozyx1222222czbyax,012222yczax.012222xczby,012222zbyax椭球面与三个坐标面的交线：0,0,0xyz这三个截口椭圆叫做椭球面的主截线(或主椭圆).（1）（2）（3）以下我们再取平行于xOy面来截割椭球面.以平面hz截割椭球面,得到的截线方程是,,1222222hzchbyax（4）坐标面的一组平行平1222222czbyax表示什么?当hc时，（4）无图形，这表示平面hz与椭球面不相交；当ch时，（4)的图形是平面hz上的一个点(0,0,c)或(0,0,-c)；(0,0,c)(0,0,-c)xyzOz=cz=-c当ch时，（4)的图形是平面hz(0,0,c)或(0,0,-c)；上的点当ch时，(4)的图形是一个椭圆,,112222chbcha及它的两轴的端点分别是,,1,0,0,12222hchbhcha与容易知道两轴的端点分别在椭圆(2)与(3)上.,,1222222hzchbyax（4）分别是这个椭圆的两半轴,,1,0,0,12222hchbhcha与22221(2),0yxzac22221(3)0xyzbc端点分别在主椭圆上.这样，椭球面(4.4-1)可以看成是由一个椭圆的变动(大小位置都改变)而产生的，这个椭圆在变动中保持所在平面与xOy面平行，且两轴的端点分别在另外两个定椭圆(2)与(3)上滑动.1222222czbyax(4.4-1)平行截割法演示用z=h截割椭球面(1)主椭圆xyzO(2)hc无截口(3)ch(0,0,c)(0,0,-c)有截点(4)ch截口是椭圆,端点在主椭圆上由此可以得到椭球面的图形如下1222222czbyax截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyxzo椭球面椭球面的方程除了用标准方程来表达外,有时也用参数方程cos,cossin,cossinczbyax(4.4-2)来表达，其中)20(),0(为参数,如果从(4.4-2)式中消去参数,,那么就得到标准方程.1222222czbyax例已知椭球面的轴与坐标轴重合,且通过椭圆0,116922zyx与点,23,2,1M求这个椭球面的方程.解因为所求椭球面的轴与三坐标轴重合，所求椭球面的方程为,1222222czbyax它与xOy面的交线为椭圆;0,12222zbyax与已知椭圆0,11692222zyx比较知.16,922ba又因为椭球面通过点)23,2,1(M，所以又有123164912c,362c因此所求椭球面的方程为.136169222zyx思考与练习:第160页.1.2.作业:第160页.3.6.