数字信号处理课后习题答案(全)章

时域离散信号和时域离散系统第1章1.41.用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。题1图时域离散信号和时域离散系统第1章解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)2．给定信号：2n+5－4≤n≤－160≤n≤40其它(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=时域离散信号和时域离散系统第1章（3）令x1(n)=2x(n－2)，试画出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；（5）令x3(n)=x(2－n)，试画出x3(n)波形。解：(1)x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。(2)x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)4014)(6)()52(mmmnmnm时域离散信号和时域离散系统第1章（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。(5)画x3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（三）时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（四）时域离散信号和时域离散系统第1章3．判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。是常数AnAnx8π73cos)()81(je)(nnx(1)(2)解：（1）因为ω=π,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14（2）因为ω=,所以=16π,这是无理数，因此是非周期序列。7381π2314π2时域离散信号和时域离散系统第1章4．对题1图给出的x(n)要求：(1)画出x(－n)的波形；(2)计算xe(n)=［x(n)+x(－n)］，并画出xe(n)波形；(3)计算xo(n)=［x(n)－x(－n)］，并画出xo(n)波形;(4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),将x1(n)与x(n)进行比较，你能得2121时域离散信号和时域离散系统第1章解：（1）x(－n)的波形如题4(2)将x(n)与x(－n)的波形对应相加，再除以2，得到xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。xe(n)的波形如题4解图（二）所示。(3)画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。时域离散信号和时域离散系统第1章题4解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1章题4解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1章题4解图（三）时域离散信号和时域离散系统第1章(4)很容易证明：x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。5．设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)（2）y(n)=2x(n)+3（3）y(n)=x(n－n0)n0（4）y(n)=x(－n)时域离散信号和时域离散系统第1章（5）y(n)=x2(n)（6）y(n)=x(n2)（7）y(n)=（8）y(n)=x(n)sin(ωn)解：（1）令输入为x(n－n0)输出为y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)=y′(n)nmmx0)(时域离散信号和时域离散系统第1章故该系统是非时变系统。因为y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)所以T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］时域离散信号和时域离散系统第1章（2）令输入为x(n－n0)输出为y′(n)=2x(n－n0)+3y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)故该系统是非时变的。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3T［ax1(n)］=2ax1(n)+3T［bx2(n)］=2bx2(n)+3T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故该系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章(3)这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为x(n－n1)输出为y′(n)=x(n－n1－n0)y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n)故延时器是非时变系统。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0)=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故延时器是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章(4)y(n)=x(－n)令输入为x(n－n0)输出为y′(n)=x(－n+n0)y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n)因此系统是线性系统。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n)=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］因此系统是非时变系统。时域离散信号和时域离散系统第1章（5）y(n)=x2(n)令输入为x(n－n0)输出为y′(n)=x2(n－n0)y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n)故系统是非时变系统。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)=ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章（6）y(n)=x(n2)令输入为x(n－n0)输出为y′(n)=x((n－n0)2)y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n)故系统是非时变系统。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2)=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章（7）y(n)=x(m)令输入为x(n－n0)输出为y′(n)==0[DD)]x(m-n0)y(n－n0)=x(m)≠y′(n)故系统是时变系统。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(m)+bx2(m)=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系统是线性系统。nm0nm000nnmnm0时域离散信号和时域离散系统第1章（8）y(n)=x(n)sin(ωn)令输入为x(n－n0)输出为y′(n)=x(n－n0)sin(ωn)y(n－n0)=x(n－n0)sin［ω(n－n0)］≠y′(n)故系统不是非时变系统。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n)sin(ωn)+bx2(n)sin(ωn)=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章6．给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）y(n)=x(n－k)（2）y(n)=x(n)+x(n+1)（3）y(n)=x(k)（4）y(n)=x(n－n0)（5）y(n)=ex(n)101NkN00nnnnk时域离散信号和时域离散系统第1章解：（1）只要N≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果|x(n)|≤M，则|y(n)|≤M，（2）该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,（3）如果|x(n)|≤M，则|y(n)|≤|x(k)|≤|2n0+1|M，因此系统是稳定的；假设n00，系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。00nnnnk时域离散信号和时域离散系统第1章m（4）假设n00，系统是因果系统，因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|≤M，（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，7．设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出y(n)输出的波形。解：解法（一）采用列表法。y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(n－m)时域离散信号和时域离散系统第1章题7图时域离散信号和时域离散系统第1章y(n)={－2,－1,－0.5,2,1,4.5,2,1;n=－2,－1,0,1,2,3,4,5}时域离散信号和时域离散系统第1章解法（二）采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+δ(n－2)由于x(n)*δ(n)=x(n)x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)故21时域离散信号和时域离散系统第1章y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+δ(n－2)=2x(n)+x(n－1)+x(n－2)将x(n)的表示式代入上式，得到y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2)+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)2121时域离散信号和时域离散系统第1章8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)（3）h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)解：（1）y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(n－m)先确定求和域。由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的非零区间如下:0≤m≤3－4≤m≤nm时域离散信号和时域离散系统第1章根据非零区间，将n分成四种情况求解：①n0时，y(n)=0②0≤n≤3时，y(n)=1=n+1③4≤n≤7时，y(n)=1=8－n④n7时，y(n)=0nm034nm时域离散信号和时域离散系统第1章最后结果为0n0或n7n+10≤n≤38－n4≤n≤7y(n)的波形如题8解图（一）所示。(2)y(n)=2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)=2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)y(n)的波形如题8解图（二）所示y(n)=时域离散信号和时域离散系统第1章题8解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1章题8解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1章(3)y(n)=x(n)*h(n)=R5(m)0.5n－mu(n－m)=0.5nR5(m)0.5－mu(n－m)y（n）对于m的非零区间为0≤m≤4,m≤n①n0时，y(n)=0②0≤n≤4时，mm时域离散信号和时域离散系统第1章nmnmnny0115.015.015.05.0)(=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n③n≥5时nnmmnny5.0315.05.015.015.05.0)(4015最后写成统一表达式：y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5)时域离散信号和时域离散系统第1章9．证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下