2019-2020学年安徽省皖江名校联盟高三(上)第一次联考数学试卷(理科)(8月份)

第1页（共20页）2019-2020学年安徽省皖江名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（8月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|lnx≥0}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{1，2}C．{x|﹣3≤x≤1}D．{x|1≤x≤2}2．（5分）已知复数，则下列说法正确的是（）A．复数z的实部为3B．复数z的虚部为C．复数z的共轭复数为D．复数的模为13．（5分）椭圆的一个焦点坐标为（）A．（5，0）B．（0，5）C．（，0）D．（0，）4．（5分）已知m＝log40.4，n＝40.4，p＝0.40.5，则（）A．m＜n＜pB．m＜p＜nC．p＜n＜mD．n＜p＜m5．（5分）曲线y＝（x3+x2）ex在x＝1处的切线方程为（）A．y＝7ex﹣5eB．y＝7ex+9eC．y＝3ex+5eD．y＝3ex﹣5e6．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝11，S15＝15，则a2＝（）A．18B．16C．14D．127．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y＝sin3x+cos3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．（5分）若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率第2页（共20页）为（）A．B．C．D．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足，当x≤0时f（x）＝ex﹣e﹣x，则不等式f（x2﹣2x）﹣f（3）＜0的解集为（）A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）10．（5分）过原点O作直线l：（2m+n）x+（m﹣n）y﹣2m+2n＝0的垂线，垂足为P，则P到直线x﹣y+3＝0的距离的最大值为（）A．+1B．+2C．+1D．+211．（5分）已知圆锥的母线长l为4，侧面积为S，体积为V，则取得最大值时圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知点A是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右顶点，若存在过点N（3a，0）的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得△AMN是以点M为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率（）A．存在最大值B．存在最大值C．存在最小值D．存在最小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上13．（5分）已知向量＝（2，3），＝（﹣1，m），且与垂直，则m＝．14．（5分）已知所有项均为正数的等比数列{an}的前项和为Sn，若a1＝1，S4＝a4+21，则公比q＝．15．（5分）二项式的展开式中，x4的系数为．16．（5分）已知角，且满足，则β＝（用α表示）三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写在答题卡上的指定区域内第3页（共20页）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cos2C﹣cos2B＝sin2A﹣﹣sinAsinC（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，b＝，求a+c的值18．（12分）如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED∥FB，DE＝BF，AB＝FB，FB⊥平面ABCD（Ⅰ）设BD与AC的交点为O，求证：OE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角E﹣AF﹣C的正弦值19．（12分）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是F，直线y＝2与C的交点到F的距离等于2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）一直线l：x＝ky+b（b≠1，k≠0）交C于A，B两点，其中点（b，k）在曲线（x﹣3）2﹣4y2＝8上，求证：FA与FB斜率之积为定值．20．（12分）设函数，a为常数（Ⅰ）若函数f（x）在（0，）上是单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a≤1时，证明21．（12分）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统C中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元．（Ⅰ）求系统不需要维修的概率；，（Ⅱ）该电子产品共由3个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；（Ⅲ）为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，第4页（共20页）则C可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+4|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞6的解集；（Ⅱ）若f（x）﹣|m﹣1|≥0恒成立，求实数m的取值范围第5页（共20页）2019-2020学年安徽省皖江名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（8月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|lnx≥0}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{1，2}C．{x|﹣3≤x≤1}D．{x|1≤x≤2}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{x|1≤x≤2}．故选：D．【点评】考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2．（5分）已知复数，则下列说法正确的是（）A．复数z的实部为3B．复数z的虚部为C．复数z的共轭复数为D．复数的模为1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵，∴z的实部为，虚部为，z的共轭复数为，模为，故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．第6页（共20页）3．（5分）椭圆的一个焦点坐标为（）A．（5，0）B．（0，5）C．（，0）D．（0，）【分析】判断椭圆的焦点坐标所在的轴，然后求解即可．【解答】解：椭圆的焦点坐标在y轴，又因为a＝3，b＝4，所以c＝，故双曲线的右焦点的坐标是．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）已知m＝log40.4，n＝40.4，p＝0.40.5，则（）A．m＜n＜pB．m＜p＜nC．p＜n＜mD．n＜p＜m【分析】根据幂函数，指数函数，对数函数的性质可得．【解答】解：因为，所以m＜p＜n．故选：B．【点评】本题考查了不等关系与不等式，幂函数，指数函数，对数函数的性质，属基础题．5．（5分）曲线y＝（x3+x2）ex在x＝1处的切线方程为（）A．y＝7ex﹣5eB．y＝7ex+9eC．y＝3ex+5eD．y＝3ex﹣5e【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程．【解答】解：由y＝（x3+x2）ex得y'＝（3x2+2x）ex+（x3+x2）ex，所以y'|x＝1＝7e，又x＝1时，y＝2e，所以所求切线方程为y﹣2e＝7e（x﹣1），即y＝7ex﹣5e．故选：A．【点评】本题考查切线方程的求法，函数的导数的应用，是基本知识的考查．6．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝11，S15＝15，则a2＝（）第7页（共20页）A．18B．16C．14D．12【分析】由S15＝15，⇒a8＝1，又a4＝11，所以公差，即可求出a2．【解答】解：因为，所以a8＝1，又a4＝11，所以公差，所以a2＝a4﹣2d＝11+5＝16．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的通项公式，属于基础题．7．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y＝sin3x+cos3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【分析】直接利用三角函数关系式的变换和平移变换的应用求出结果．【解答】解：因为，所以将其图象向左平移个单位长度，可得，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．（5分）若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（）A．B．C．D．【分析】分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，有种，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，有2种，所以恰有两人站在自己原来的位置上包含的基本事件为10×2＝20，又基本事件总数为120，代入古典概型概率公式即可．第8页（共20页）【解答】解：根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，有种选法，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，故不同的调换方法有10×2＝20种．而基本事件总数为，所以所求概率为．故选：C．【点评】本题考查了古典概型的概率求法，考查了计数原理，排列组合的知识，本题属于基础题．9．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足，当x≤0时f（x）＝ex﹣e﹣x，则不等式f（x2﹣2x）﹣f（3）＜0的解集为（）A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【分析】由已知求得函数解析式，再由导数研究函数的单调性，把f（x2﹣2x）﹣f（3）＜0转化为关于x的一元二次函数求解．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（e﹣x﹣ex）＝ex﹣e﹣x，∴当x∈R时，，∴，则f（x）为R上的单调递增函数，故由f（x2﹣2x）﹣f（3）＜0，得f（x2﹣2x）＜f（3），即x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，故选：A．【点评】本题考查函数解析式及其求法，训练了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，属中档题．10．（5分）过原点O作直线l：（2m+n）x+（m﹣n）y﹣2m+2n＝0的垂线，垂足为P，则P到直线x﹣y+3＝0的距离的最大值为（）A．+1B．+2C．+1D．+2【分析】整理直线方程，找到直线过的定点Q（0，2），则点P在以oq为直径的圆上，第9页（共20页）将P到直线x﹣y+3＝0的距离的最大值转化为圆心（0，1）到直线的距离处理即可．【解答】解：（2m+n）x+（m﹣n）y﹣2m+2n＝0整理得（2x+y﹣2）m+（x﹣y﹣2）n＝0，由题意得，解得，所以直线l过定点Q（0，2）．因为OP⊥l，所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆，圆心为（0，1），半径为1，因为圆心（0，1）到直线x﹣y+3＝0的距离为，所以P到直线x﹣y+3＝0的距离的最大值为．故选：A．【点评】本题考查了直线过定点问题，考查了圆的方程，点到直线的距离公式，属于基础题．11．（5分）已知圆锥的母线长l为4，侧面积为S，体积为V，则取得最大值时圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，则r2+h2＝l2＝16，求出的表达式，利用基本不等式求解即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则r2+h2＝l2＝42＝16，所以，当且仅当时取等号．此时侧面积为．故选：D．【点评】本题考查几何体的体积以及侧面积的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．12．（5分