计算方法复习与思考

第一章误差一、填空题：1、误差一般有四种类型，但在计算方法中主要讨论的是________和。2、模型的准确解与用数值方法求得的解之差称为。3、若*x=3587.64是x的具有六位有效数字的近似值，那么它的误差限是；相对误差限是。4、若*x=315.46是x的具有五位有效数字的近似值，那么它的误差限是；相对误差限是。5、设x0,x的相对误差限为δ，那么lnx的绝对误差限为。6、设x的相对误差为α%，那么nx的相对误差限为。二、选择题：1、以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为31025.0的是。A.-2.20B.0.2200C.0.01234D.-12.342、数值x*=2.197224577…的六位有效数字的近似值x=。A.2.19723B.2.19722C.2.19720D.2.1972253、已知自然数e=2.718281828459045…，取e≈2.71828，那么e具有的有效数字是。A.5位B.6位C.7位D.8位三、计算题：（注意事项）四、证明题：（误差、误差限与有效数字位的关系）第二章插值法与数值微分内容：典型题例：一、选择题1、过点),(),,(1100yxyx两点的线性插值基函数)(),(1100xlxl满足。A.1)(,1)(0100xlxlB.0)(,0)(1110xlxlC.1)(,1)(1100xlxlD.0)(,0)(1100xlxl2、下列条件中，不是分段线性插值函数P(x)必须满足的条件是。A.),,1,0(,)(nkyxPkkB.P(x)在[a,b]上连续C.P(x)在各子区间上是线性函数D.P(x)在各节点处可导3、区间[a,b]上的三次样条插值函数是。A.在[a,b]上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次多项式；B.在[a,b]上连续的函数；C.在[a,b]上每点可微的函数；D.在每个子区间上可微的多项式。二、填空题：1、如果设12)(2xxxf，则在（0，1），（1，4），（2，9），（3，16）四点对)(xf使用牛顿插值，则插值函数为；如果设3,2,1,03210xxxx，那么],,[210xxxf；],,,[3210xxxxf。2、如果设52)(2xxxf，则在（0，-5），（1，-6），（-1，-2），（-2，3）四点对)(xf使用牛顿插值，则插值函数为；如果设2,1,1,03210xxxx，那么],,[210xxxf；],,,[3210xxxxf。3、在Hermite插值中，在0x这个点上构造的两个插值基函数为)(0xh__________和)(0xH，在1x这个点上构造的两个插值基函数为：)(1xh和)(1xH。4、若过三个点210,,xxx作二次插值多项式，并取hxxxx0112，则)(2x微商)(2x；其截断误差分别为：)(02xR，)(12xR，)(22xR。5、设在区间[a,b]上取n+1个节点bxxxan10，给定这些点上的函数值),,1,0()(niyxfii，若要构造一个三次样条插值函数)(xS，则)(xS必须满足条件：（1）；(2)在每个小区间],[1iixx上是一个次多项式；（3）。三、计算题1、取节点00x，11x，212x对函数xey分别使用拉格朗日插值法、牛顿插值法产生二次插值多项式。2、设xy，在x=100,121,144三处的值很容易求得的，试以这三点建立xy的二次拉格朗日型和牛顿型插值多项式。3、取节点00x，11x，212x对函数211xy分别使用拉格朗日、牛顿插值法产生二次插值多项式。四、证明题：如：2.2，2.4第三章数据拟合法一、填空题：1、数据拟合法的具体方法是：使用原理，建立方程组。2、在数据拟合中，经验函数2cxbxay，它不能通过变量替换化成直线，但可作变换，就化为包含两个自变量的数据拟合。3、数据拟合法总是在一组选定的基函数上构造基函数的线性组合，并从这个组合函数类中对给定数据找出最好的拟合曲线。例如：线性拟合，则是在基函数上构造一次函数类，找出对给定数据拟合最好的直线方程；多项式拟合，则是在基函数上构造m次多项式。二、计算题：1、利用最小二乘原理，用下列数据拟合一线性方程：x-0.4-0.200.20.4y0.7745970.8944271.00001.0954451.1832162、用一个形如2bxay的经验公式，使与下列数据相拟合：x1925313844y19.032.349.073.397.83、用一个形如2bxay的经验公式，使与下列数据相拟合：x-0.4-0.200.20.4y1.07701.01981.00001.01981.07704、用一个形如BxAey的经验公式，使与下列数据相拟合：（书上例题、习题）第五章数值积分一、选择题：1、有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的。A.1B.3C.5D.72、已知等距节点的牛顿-科茨求积公式520)()(nkkkxfAdxxf，那么nkkA0。A.1B.2C.3D.4二、填空题：1、牛顿-科茨求积公式bankkkxfAdxxf0)()(，那么nkkA0。2、在数值积分的计算公式中，梯形求积公式的代数精度为；抛物线求积公式的代数精度为；而)()()(311131ffdxxf的代数精度为。3、使求积公式bankkkxfAdxxf0)()(具有__________次的代数精度，则称该求积公式是高斯求积公式。三、计算题：1、使用梯形公式、抛物线公式和n=4的牛顿-科茨公式，计算定积分：dxx10112。2、使用梯形公式、抛物线公式和n=4的牛顿-科茨公式，计算定积分：dxx512。3、计算积分：dxeIx10，要求保证有5位有效数字，问若用复化梯形求积公式，n应取多少？若用复化抛物线求积公式计算，n又应取多少？。四、证明题：1、证明：当n为偶数时，牛顿-科茨求积公式的代数精度可以达到n+1。2、在区间[-1，1]上对)(xf求积分，使用求积公式：)()()(221111xfAxfAdxxf（1）求解1x，2x，1A，2A，使它的代数精度最大；（2）并证明求积公式的代数精度。3、确定求积公式)()()()1(2211112xfAxfAdxxfx的参数1x，2x，1A，2A，使它的代数精度尽可能高，并证明其代数精度。第六章解线性方程组的直接方法一、选择题：1、用选主元的方法解线性方程组AX=b，是为了。A.提高计算速度B.增加有效数字C.减少舍入误差D.方便计算2、高斯消去法解线性方程组，能进行到底的充分必要条件是。A.系数矩阵各阶顺序主子式不为零；B.系数矩阵主对角元素不为零；C.系数矩阵各阶主子式不为零；D.系数矩阵各列元素不为零。二、填空题：1、用高斯消去法解n阶线性方程组总共需要的乘除法运算是_________________次。2、当A是矩阵时，存在一个实的非奇异的下三角矩阵L使A=LLT且当限定L的对角线元素为正时，这种分解是唯一的。3、用列主元素法解线性方程组134092143321321321xxxxxxxxx，第1次消元，选择的主元为。解方程组：如1、用高斯消去法解下面的方程组：120621911432321xxx2、使用全主元素法解下面的方程组：615318153312321321321xxxxxxxxx3、用LU分解法解下面的方程组：7187542774322321xxx第十章非线性方程及非线性方程组解法一、选择题：1、用对分区间法求方程0523xx在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根区间是。A.[2，3]B.[2，2.5]C.[2.5，3]D.[2.5，3.5]2、用对分区间法求方程f(x)=0在区间[a,b]上的根，那么对分有限区间的次数n。A.只与函数f(x)有关；B.只与误差限有关；C.与有根区间的长度、误差以及函数f(x)有关；D.只与有根区间的长度以及误差限有关。3、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，将方程f(x)=0表示成)(xx，则f(x)=0的根是。A.y=x与)(xy的交点；B.y=x与x轴的交点的横坐标；C.)(xy与x轴的交点的横坐标；D.y=x与)(xy交点的横坐标。4、用简单迭代法解方程)(xx（)(x称为迭代函数），迭代函数)(x在有根区间满足，则在有根区间内任取初始值x0，用公式),2,1,0)((1nxxnn所得的解序列收敛。A.1)(LxB.1)(LxC.1)(xD.1)(x5、用牛顿法求方程f(x)=0的近似根，选择初始值x0应满足。A.0)()(00xfxfB.0)()(00xfxfC.0)()(00xfxfD.0)()(00xfxf二、填空题：1、牛顿法是由选取的初值x0处作函数f(x)的切线，用切线与的交点来近似代替f(x)与x轴的交点。2、利用迭代法求解非线性方程的根，就初始值的选取来说，对分区间法属于收敛方法；牛顿法属于收敛法。三、非线性方程求根题：如1、给定绝对误差限ε=0.05，如果用对分区间法求方程0sin3xexx在区间[0，1]内的近似根，需对分区间多少次？并求满足条件的近似根。a=0,b=1,ε=0.05，则对分区间的次数为：3.312ln05.0ln1lnn取n=4.即对分区间4次。对分区间的计算过程如下表：xf(x)存在根的区间0-111.12（0，1）0.50.3307（0，0.5）0.25-0.28662（0.25，0.5）0.3750.814639（0.25，0.375）0.3125-0.1219（0.3125，0.375）所以3438.02375.03125.04x所求根为3438.0*x]2、试用牛顿法求a1，写出它的迭代公式，并证明其收敛性（a为大于0的常数）。3、试用牛顿法求方程3)(2xxf在区间[1，4]上的根，写出它的迭代公式，并证明产生的迭代序列收敛。