7.3(1)等比数列课件

1.教学目标（1）正确认识和理解等比数列的定义，明确等比数列中公比的概念，探索并掌握等比数列的通项公式.（2）能够根据所理解的定义判断或证明某一数列为等比数列.（3）懂得将生活中的实例抽象为等比数列模型来解决生活中的实际问题.知识目标：12能力目标：（1）通过发现几个具体简单的数列的等比关系，类比于之前的等差数列概念的推导过程，归纳出等比数列的概念，探索出等比数列的通项公式.（2）培养学生严密的思维习惯，通过对等比数列的研究，采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学，发挥学生的主题作用，并作进一步培养学生善于思考、解决问题的能力.3情感目标：（1）感受等比数列丰富的现实背景，培养学生勇于探索，善于猜想的学习态度，实事求是的科学态度.（2）进一步激发学生对数学学习的积极情感，主动参与学习，感受数学文化.2.教学重点、难点重点：（1）等比数列定义的归纳及运用，理解公比的概念.（2）能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的未知项.难点：（1）懂得正确地根据定义判断或证明某些数列是否为等比数列.（2）等比数列的通项公式的推导与应用.1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）an=am+(n-m)dmnaadmnb为a、c的等差中项AA2cab2b=a+c3.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题是不一定成立的；4.在等差数列{an}中a1+ana2+an-1a3+an-2…===3.教学过程一、复习情景引入引例1：•①如下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：124816…庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。1111124816，，，，，…如果将“一尺之棰”视为单位“1”，则每日剩下的部分依次为：引例2：引例3：•③一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：120202203…引例4：•④除了单利，银行还有一种支付利息的方式——复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率）存期。•现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末的本利和组成了下面的数列：100001.01982100001.01983100001.01984100001.01985100001.01989共同特点:从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。(1)(2),,2,2,2,132……,161,81,41,21……（4）231,20,20,20,....1.探究新知——“探”100001.01982100001.01983100001.01984100001.01985100001.0198观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？(3)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比通常用字母q表示（q≠0）数学表达为：(1)一个等比数列中，可以出现“0”项吗？为什么？(2)常数列是等比数列吗？若是，公比是多少？2.探究新知——“探”或)(*1NnqaannNnnqaann且21(3)既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？•（1）公比q一定是由后项除以前项所得，而不能用前项除以后项来求；•（2）对于数列{an}，若（与n无关的数或字母），n≥2，n∈N，则此数列是等比数列，q为公比。)0(1qqaann说明：12等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。abGabG2)2(112naaannn.)2(,,,}{11的关系相邻三项中思考：等比数列naaaannnn13(1)1，-1/3，1/9,-1/27，…(2)1,2,4,8,12,16,20,…(3)数列｛an｝的通项公式为an=3n/2,(n∈N*)(4)1，1，1，…，1(5)a，a，a，…，a1.判断下列数列是否是等比数列，是等比数列的求出公比√q=-1/3×√q=3√q=1不一定，当a≠0时是等比数列,当a=0时非等比数列。练习〔练习与评价一〕.1216,,98,,,7*,2621xxcbaacbaNnaqqaannn成等比数列，则已知成等比数列；则若为等比数列；则数列，为常数，若×××6与7中均考查学生对等比数列定义的掌握程度,在等比数列中,任何项和公比都不可能为零,所以条件有漏洞.8中考查学生对等比中项的认识.应强调的是:在实数集,只有同号的两个数才有等比中项,此等比中项必有两个,且互为相反数.2.求出下列等比数列中的未知项.(1)2,a,8(2)-4,b,c,21解得a=4或a=-41c2b解得2、等比数列的通项公式：•法一：递推法qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa……由此归纳等比数列的通项公式可得：11nnqaa等比数列等差数列daa12daa213daa314……由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan)1(1类比2、等比数列的通项公式：迭乘法qaa12qaa23qaa34……11nnqaaqaann1共n–1项×）等比数列•法二：迭加法daa12daa23daa34……dnaan)1(1daann1+）等差数列类比拓展：11mmqaa11nnqaamnmnmnqqaqaaa1111mnmnqaa可得dmaam)1(1dnaan)1(1dmnaamn)(dmnaamn)(可得等差数列等比数列类比(3)-1，3，-9，27，-81，…(2)1，-1，1，-1，1，…(1)2，4，8，16，32，64，…思考：1.试写出下面等比数列的通项公式111(4)1,,,416642.求等比数列1，，，…的通项公式及第6项111121211nnnnqaa32121166a412111,,1......2553.等比数列的第几项是625？解：设第n项是625.7625552513111nqaannnn2,83qa8a4.已知在等比数列中，求答案：-256例2.一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和１８，求它的第１项和第２项．解：用｛an｝表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有解得因此，82331612qaa答：这个数列的第1项与第2项分别是.8316与23q316a118123121qaqa即,18,1243aa11nnqaa•变式2：在8与512之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数练习1：在等比数列{an}中：1159115(1)2,3,162,;1(2)3,211,,932,8,naqanaqaaqaaa已知求已知，求；已知求；已知求q(3)(4)1,,,11naaqaqannn对于通项公式来说，有四个量，可以知三求一课堂巩固练习练习2：在等比数列{an}中：362,16,naaa已知求1n1nqaa解：2n1nn12135162221a2q21a2qaa16qaa*636333323:,1622222nmnmnnnnaaqnmNaaqqqaaq另解练习3：在等比数列{an}中：362,16,naaa已知求范例讲解例1已知数列的通项公式为，这个数列是等比数列吗？分析：用定义法证明na32nna变式训练1：已知数列是等差数列，数列满足，求证数列是等比数列分析：用定义法证明nbna2nanbnb2811aq设等比数列第项为，公比为，则1123181893,18842aqqqaq3233181222qaaq（）若，则3233281222qaaq（）若，则（）方法1：利用通项公式1.一个等比数列的第2项与第4项分别是8与18，求它的第3项。拓展提升29方法2：利用定义342323243,144,12naaaaaaaaa设等比数列为，由定义则30.,6,42;,3,271,.197574aaaaqaan求求中在等比数列.211.12,1211的通项公式求数列是等比数列；求证：数列中，已知数列nnnnnaaaaaa对通项公式的理解①函数观点：它是与指数函数y=ax有关的一个函数.(图像特征?)②方程思想：方程中有四个量,它们是an,a1,q,n.知道其中三个量,能求第四个量.11nnqaa③其他形式：an=amqn-m等比数列的图象1（1）数列：1，2，4，8，16，…1234567891024681012141618200●●●●●通项公式112nnaq1)(a10递增数列等比数列的图象2（2）数列：12345678910123456789100●●●●,81,41,21,1,2,4,8●●●通项公式1182nna(a10,0q1)递减数列等比数列的图象3（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●通项公式an=4(a10,q=1)常数数列等比数列的图象4（1）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●通项公式an=(-1)n+1(a10,q0)摆动数列q10q1q=1q0递增递减常数列递增递减常数列单调性a10a10an=a1qn-1摆动数列摆动数列类比等差数列的单调性——公差d来决定，等比由谁决定？等比数列的增减性:1.当q＞1,a1＞0或0＜q＜1,a1＜0时,{an}是递增数列;2.当q＞1,a1＜0,或0＜q＜1,a1＞0时,{an}是递减数列;3.当q＝1时,{an}是常数列;4.当q＜0时,{an}是摆动数列．38总结?1.定义2.公比(差)3.等比(差)中项4.通项公式5.性质(若m+n=p+q)daann1q不可以是0,d可以是0等比中项abG等差中项baA211nnqaadnaan)1(1mnmnqaadmnaamn)(等差数列(AP)qaann1等比数列(GP)qpnmaaaa