3棱柱、棱锥、棱台习题

棱柱、棱锥、棱台习题例1若设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么长方体（1）对角线长d是多少？d＝a2＋b2＋c2.(2)l所有棱长和是多少？4()labcS(3)全面积是多少？2()Sabbcac（4）以上三者的关系？2222()2()abcabcabbcac22ab11146ABCABC正三棱柱中，底面边长是练，高是习，11MNMNACBC点、分别为线段与的中点，求线段的长度46E例2.已知正四棱锥V－ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为，计算它的高和斜高。211解：设VO为正四棱锥V－ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点，连接OM、OB，则VO⊥OM，VO⊥OB.因为底面正方形ABCD的面积是16，所以BC=4，MB=OM=2，2222OBBMOM又因为VB=,在Rt△VOB中,由勾股定理得2112222(211)(22)6VOVBOB在Rt△VOM中，由勾股定理得2262210VM即正四棱锥的高为6，斜高为210练习正四面体边长为a，求它的高，斜高63SOa高32SMa斜高例3已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．EF斜高EF=4O’OGO'O=15高H'17BB侧棱长255cmcmcm设正三棱台的上底面和下底面的边长分别为和，侧棱长为，求这个练习棱台的高例3如图，在正三棱台ABC—A1B1C1中，已知AB＝10，棱台一个侧面的面积为2033，O1、O分别为上、下底面正三角形的中心，D1D为棱台的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的边长．H（1）棱柱的侧面都是平行四边形（2）棱锥的侧面为三角形且所有侧面都有一个公共点（3）多面体至少有四个面（4）棱台的侧棱所在直线都交于同一点（5）底面是正方形的四棱柱是正方体（6）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥（7）有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱（8）棱柱的各条棱长都相等√√√√例4：判断下列命题的真假√√（9）各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；（10）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（11）棱锥的所有侧面可能都是直角三角形；（12）四棱锥的四个侧面中可能四个都是直角三角形。1．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是()（A）底面为正多边形（B）各侧棱都相等（C）各侧面与底面都是全等的正三角形（D）各侧面都是等腰三角形C2．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）（A）三棱锥（B）四棱锥（C）五棱锥（D）六棱锥D3．棱台不一定具有的性质为()A．两底面相似B．侧面均为梯形C．侧棱均相等D．侧棱延长后共点C4.以下关于棱柱的描述，正确的是（）Ａ．棱柱所有的面都是平行四边形Ｂ．棱柱的各棱长一定相等Ｃ．棱柱只有两个面互相平行Ｄ．底面为五边形的棱柱是五棱柱Ｄ5.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是（）Ａ．棱柱Ｂ．棱锥Ｃ．棱台Ｄ．可能是棱台，也可能不是棱台，但一定不是棱柱和棱锥Ｄ例5长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，BB1＝3，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．【分析】应注意分情况讨论，不要漏解导致错误．【解】分三种情况展成平面图形求解．沿长方体的一条棱剪开，使A和C1在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝52＋3＋42＝74.(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝42＋3＋52＝80.(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝5＋42＋32＝90.相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为74.【点评】求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常常将几何体沿某条棱剪开，将两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题．例6如图所示，侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值．【分析】在空间求最值问题时，一般思路是将空间图形展开转化为平面图形．正三棱锥→沿一条侧棱将侧面展开→解三角形【解】将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求AD＝3，则AA1＝6.故△AEF周长的最小值为6.【点评】有关几何体的距离的最值问题，通常办法是将其转化为平面图形，利用两点间的直线距离最小来求解，这也是解立体图形的常用方法，将立体问题(空间问题)转化为平面问题，从而将未知问题转化为已知问题．111ABCABC正三棱柱中，底面边长是1练习，高是8，1AA一质点自出发，绕侧面绕行一周到点的最短路线长为多少？1BB1AA1．过正方体三个顶点的截面截得一个正三棱锥，若正方体棱长为a，则截得的正三棱锥的高为。22a233a2．正四面体棱长为a，M，N为其两条相对棱的中点，则MN的长是。练习3若三棱锥的底面为正三角形，侧面为全等的等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高．解在底面正三角形中，边长为3，高为3×sin60°＝332，中心到顶点距离为332×23＝3，则棱锥的高为22－32＝1.4已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．解：如图，设O′，O分别为上下底面的中心，即OO′为正四棱台的高，E，F分别为B′C′，BC的中点，∴EF⊥B′C′，即EF为斜高．由上底面面积为4，上底面为正方形，可得B′C′＝2；同理，BC＝4.∵四边形BCC′B′的面积为12，∴12×(2＋4)·EF＝12，∴EF＝4.过B′作B′H⊥BC交BC于H，则BH＝BF－B′E＝2－1＝1，B′H＝EF＝4.在Rt△B′BH中，BB′＝BH2＋B′H2＝12＋42＝17.同理，在直角梯形O′OFE中，计算出O′O＝15.综上，该正四棱台的侧棱为17，斜高为4，高为15.5如图，在正三棱台ABC—A1B1C1中，已知AB＝10，棱台一个侧面的面积为2033，O1、O分别为上、下底面正三角形的中心，D1D为棱台的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的边长．解∵AB＝10，∴AD＝32AB＝53，∴OD＝13×AD＝533.设上底面边长为x，则O1D1＝36x.过D1作D1H⊥AD于点H，则DH＝OD－OH＝OD－O1D1＝533－36x.在△D1DH中，D1D＝DHcos60°＝2533－36x，∴在梯形B1C1CB中，S＝12(B1C1＋BC)·D1D，即2033＝12(x＋10)·2533－36x，解得x＝215，∴上底面的边长为215.11146ABCABC正三棱柱中，底面边长是，高是6，1ABC求截面的面积M46525627．经过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是a、b、c，那么这个长方体的体对角线长是_____________．解析设经过长方体同一顶点的三条棱长分别为x、y、z，则有x2＋y2＝a2，x2＋z2＝b2，z2＋y2＝c2.设长方体的体对角线长为l，则有l2＝x2＋y2＋z2＝12[(x2＋y2)＋(x2＋z2)＋(z2＋y2)]＝12(a2＋b2＋c2)．∴l＝a2＋b2＋c22.a2＋b2＋c228正四棱锥S－ABCD的高为3，侧棱长为7.(1)求侧面上的斜高；(2)求一个侧面的面积；(3)求底面的面积．解：(1)如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，高SO＝3，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7，解Rt△SOA，得OA＝2，则AC＝4，∴AB＝BC＝CD＝DA＝22.作OE⊥AB于E，则E为AB的中点，∴OE＝12BC＝2.连接SE，则SE为斜高．∵SO＝3，∴SE＝5，即侧面上的斜高为5.(2)由(1)知SE＝5，AB＝22，∴S侧面＝12·SE·AB＝12×5×22＝10.(3)S底面＝AB·BC＝22×22＝8.9底面为菱形的直平行六面体，高为12cm，两条体对角线长为15cm和20cm，求底面边长.P3372