第二章-一维随机变量及其分布

第二章一维随机变量及其分布主要内容：随机变量的概念及其分布函数一维离散型随机变量一维连续型随机变量一维随机变量函数的分布§2.1随机变量的概念及其分布函数为什么要研究随机变量？将样本空间Ω中的样本点与数量相联系，从而便于处理。将随机事件与变量相联系(可用变量表示事件)，这样可以用函数方法研究概率问题。正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件；随机变量就是“其值随机会而定”的变量。其机会表现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一定的概率。如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，…，6这6个数值中的1个，到底是哪一个，要等掷了骰子后才知道。因此，随机变量是试验结果的函数。123456=,,,,,,1,2,3,4,5,6i样本空间其中，样本点出现的点数为()(),1,2,3,4,5,6iXXXwXwii随机变量是样本点的函数：其中，R随机变量就是随机取值的量，其取的值由随机试验的结果（样本点）来确定。随机变量是的映射（函数）135X=,,=|()=简记利用随机变量表示随机事件：出现的骰子点数为奇数为奇数为奇数123=,,=|()=简记出现的骰子点数3332345=,,,=|2()525=简记2出现的骰子点数5定义2.1.1设(Ω,F,P)为概率空间，称映射X:Ω→R为随机变量，如果对任意x∈R，有{ω|X(ω)≤x}∈F(2.1.1){ω|X(ω)≤x}是满足条件X(ω)≤x的样本点ω的集合，是事件域F中的一个随机事件。通常用X,Y,…,ξ,η,…来表示随机变量，用x,y,…表示其取值。说明：设X=X(ω)，ω，X(•)是定义在概率空间(Ω,F,P)上的单值实函数。对于任一实数x，样本点（基本事件）ω的集合{ω|X(ω)≤x}都是F中的一个随机事件，则称X=X(ω)为随机变量。随机变量X=X(ω)是样本点（基本事件）ω的函数，ω是自变量，在不必强调ω时，简记X(ω)为X，而ω的集合{ω|X(ω)≤x}所表示的事件简记为{X≤x}。定义随机变量后，随机事件可以用随机变量的取值范围来描述。例如对任意实数x,x1,x2可以证明，形如{ω:X(ω)=x},{ω:X(ω)≤x},{ω:X(ω)x},{ω:X(ω)≥x},{ω:x1X(ω)x2},{w:x1≤X(ω)≤x2},等等，都是随机事件，在不必强调ω时，简记{ω:x1≤X(ω)≤x2}为{x1≤X≤x2}。用随机变量表示事件:例：在某厂大批产品中随机地抽出100个，其中所含废品数X是随机变量。可能结果wi=“100个产品中有i个废品”i=0,1,..,100样本空间Ω={w0,w1,w2,…,w100}X=X(w)wX=X(w0)=0,X=X(w1)=1,X=X(w2)=2,…,X=X(w100)=100事件“废品数不超过50”={w:X(w)≤50}={w0,w1,…,w50}={X≤50}事件{30≤X50}={w30,w31,…,w49}2.1.2随机变量的分布函数定义2.1.2设(Ω,F,P)为概率空间，X为随机变量，X的分布函数FX定义为:()|(),,()()XXFxPwXwxwxRFxPXx,对任意简写为：定理2.1.1设(Ω,F,P)为概率空间，X为随机变量，其分布函数为FX，则上述三条性质为随机变量分布函数的特征性质，即若有定义于R上的实函数F满足性质(i)~(iii)，则可以构造一个概率空间(Ω,F,P)和其上的随机变量X，使FX(x)=F(x)，01212000()()(0()1,.,()(),(()),lim()().(())lim()()0,lim()()1)XXXXXXXxxXXXXxxiiiiiFxxRxxFxFxFxxFxFxFxFxFiFxF对任意有即单调不减且对任意即右连续。xR()()()()()XXPaXbPXbPXaFbFa利用分布函数计算事件的概率：()()(()(0))XXPaXbPXbPXFbFaa()((0)(0)())XXPaXbPXbPFbXFaa()((0)())()XXPaXbPXbPXFFaba()()()11()lim()(()im0)l()XXXXnnXPXaPXaPXaFaPXaFaFFannaFa§2.2一维离散型随机变量称只能取有限多个不同的值或可列多个不同的值的这类随机变量为离散型随机变量。设离散型随机变量X的取值为a1,a2,…,an,…，且已知P(X=ai)=pi,i=1,2,…记称上式右端为X的概率分布列，简称X的分布列，称(p1,p2,…,pn,…)为X的概率分布。概率分布满足以下两个性质：(1)pi≥0，i=1,2,3,…(2)1212~nnaaaXppp11iip离散型随机变量的分布函数为其图形为右连续阶梯函数，在各点ai处提高pi。()()iiaxXFxPXxp，有ba•例设射手进行计分打靶练习，有如下规定：射入区域e1得2分，射入区域e2得1分，否则就得0分）。一射手进行一次射击的得分是随机变量，其可能取得的值为0，1，2。不同的射手在射击之前，他们进行一次射击的得分值都是不可预知的。射手甲在一次射击中得分X的概率分布列为：射手乙在一次射击中得分Y的概率分布列为：8.02.00210~X1.03.06.0210~Ye2e1e2计算Y的分布函数:FY(x)=P(Y≤x):000.601()0.91212YxxFxxx当x0时，FY(x)=P(Y≤x)=P()=0当0≤x1时，FY(x)=P(Y≤x)=P(Y=0)=0.6当1≤x2时，FY(x)=P(Y≤x)=P(Y=0)+P(Y=1)=0.6+0.3=0.9当2≤x时，FY(x)=P(Y≤x)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=0.6+0.3+0.1=12.2.1二项分布如果一个随机变量X取值为0,1,2,…,n，且称X服从二项分布，记为X~B(n,p)。二项分布列是：正是因为是二项式[px+(1-p)]n展开中xk的系数，故称(2.2.3)给出的X的分布为二项分布(()(1)0,1,2,,2.2.3)kknknPXkCppkn0011-1-001nnkknknnnnnnknXCpqCpqCpqCpq～(1)kknknCpp两点分布(0-1分布)：若随机变量X只能取两个值0和1，其分布列为：单点分布(退化分布)：若随机变量X只取常数值C，即实际上这时X并不是随机变量，为了方便和统一起见，将其看作随机变量。01~1Xpp{=}=11，其分布列：～CPXCX当X~B(n,p)时，∀ab，有下列公式：随机变量X在a和b之间取值的概率是随机变量X的取值不超过b的概率是随机变量X的取值至少是r的概率是k=()=(;,)=bkknknakbaPaXbbknpCpp(1)1k=0()=1(1)=1()rkknknPXrPXrCpp-----1k0()=(;,)bkknknbkPXbbknpCp(p)1说明:可用R软件中的binom()函数，计算n重独立试验中事件发生的概率。若X~B(n,p)，则可调用pbinom(x,n,p)计算P(X≤x)。可调用dbinom(k,n,p)计算P(X=k)(请注意二者的区别)。例2.2.1设X~B(10,0.9),试求P(X=8),P(X≤8)和P(3≤X≤9)。解108810()0.90.881(,10,0.9)0.19371802PXdbinom100810()0.90.1(,10,0.9)0.263901818kkkPXpdbinomk931010()0.90.1(9)(2)3(,10,0.9)(,10,0.9)0.6992513124kkkPXPXPXkpdbinompdbinom--例2.2.2已知发射一枚地对空导弹可击中来犯敌机的概率为0.96。问在同样的条件下需发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中来犯敌机的概率大于0.999?解设需发射n枚导弹，击中敌机的次数为X。由题意知各枚导弹是否击中是相互独立的，所以击中的次数X~B(n,0.96)，从而有故至少需要发射3枚导弹。152040001099901)(111)(..lg.lgn.pXPnn0.04---例一个完全不懂阿拉伯语的人去参加一场阿拉伯语考试。假设考试有5道选择题，每题给出n个结果供选择，其中只有一个结果是对的。试问他居然能答对3题以上而及格的概率。解每做1题是1次p=1/n的伯努利试验，这里A是“答题正确”，则考试是p=1/n的5重伯努利试验，在5题中恰好答对题数X～B(5,1/n),此人及格的概率为：当n=3时，此值=0.29当n=4时，此值=0.10111P()=b(3;5,)+b(4;5,)+b(5;5,)nnn及格定理2.2.1设X～B(n,p)，当(n+1)p不为整数时，取m=(n+1)p的整数部分，则P(X=m)=b(m;n,p)的值最大。若(n+1)p为整数时，取m=(n+1)p,则b(m;n,p)=b(m-1;n,p)同为最大值。证明：当k＜(n+1)p时，r＞1,则b(k;n,p)＞b(k-1;n,p),概率随k的增大而增大；当(n+1)p是整数且等于k时，r=1，则b(k;n,p)=b(k-1;n,p);当k＞(n+1)p时，r＜1,则b(k;n,p)＜b(k-1;n,p)，概率随k的增大而减小。rkqkpnqpCqpCpnkbpnkbknkknknkkn)(111)1(1),;1(),;(记作例2.2.3渔塘主需估计自己的收入。他先从塘中捞起100条鱼，做上记号后放回塘里，过一段时间(使其均匀)再从塘中捞起80条鱼，发现其中有记号的鱼为2条。试估计鱼塘中有多少条鱼。解设鱼的总数为N条，则从塘中任意捞一条鱼，它有记号的概率为100/N。若鱼的数量较多，可近似认为，一网捞出80条鱼与有放回地捞取80条鱼的试验条件相同。所以，捞出的80条鱼中有记号的数量为X，且X近似服从二项分布。100(80,)BN一般来说，小概率事件在一次试验中几乎不发生；但若一次试验中某事件发生了，则其发生的可能性较大，甚至最大。由定理2.2.1，当X=m=((n+1)p)的整数部分时，其概率最大，即X=((80+1)100/N)的整数部分时，事件发生的可能性最大，所以令解得N=4050(条)100(80+1)=2N2.2.2泊松（Poisson）分布若随机变量X以全体自然数(非负整数)为其一切可能值，即X=0,1,2,…，其分布为其中参数＞0,则称X服从参数为的泊松分布，记为X～Pois()。R软件用函数dpois(k,)计算参数为的泊松分布P(X=k)。泊松分布的概率分布列为(=)=0,1,2,kλλPXk=ekk!-01k!kλλλXλeλeek---～实际上，“稀有事件”(在有限时间内只发生有限次，在极短时间内只发生一次)发生的次数服从泊松分布。例如:在任给一段固定的时间间隔内，来到公共设施(公共汽车站、商店、电话服务台等)要求给予服务的顾客个数；一段时间内放射性物质分裂落入某区域的质点数；显微镜下看到的某种细菌的生长个数。n=10,p=0.4,=np=4n=40,p=0.1=np=4随着n增大，若np不变,则二项分布与泊松分布逐渐接近。由于二项分布中n很大且p很小时，概率b(