以数学史和数学故事为载体的数学文化渗透

以数学史和数学故事为载体的数学文化渗透野寨中学黄开宇张奠宙先生认为“数学文化必须走进课堂”．数学的文化内涵往往以潜移默化的形式存在，只有教师有意识地将文化观念渗透于数学课堂教学之中，才能让学生感悟这种“看不见的文化”．如何在数学教学中渗透数学文化，使学生在学习数学过程中体验数学文化，受到文化感染，产生文化共鸣，从而实现数学的文化教育功能，是课程改革提出的新问题．作为从事一线教学的数学教师，同时也是课改的践行者，我尝试探索数学文化在高中课堂教学中的渗透方式和可行的教学策略，使之应用于数学课堂教学，实现数学课堂教学高效性，笔者认为，将数学史和数学故事融入数学课堂教学是进行数学文化渗透的有效途径之一．数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录，因为数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊、经历艰难曲折，甚至面临危机．从某种意义上说，数学史是数学家们克服困难和战胜危机的斗争记录．无理量的发现、微积分和非欧几何的创立，乃至费马大定理的证明等等，这些例子在数学史上不胜枚举，它们可以帮助人们了解数学创造的真实过程，而这种过程往往在通常的教科书中是以定理到定理的形式被包装起来的．教学中适当将它们打开，对于这种创造过程的了解可以使我们从前人的探索与奋斗中汲取教益，获得鼓舞和增强信心．有经验的教师都知道，学生在开始接触“用字母表示数”的观念，以及虚数、微积分、负数等概念时，很容易感到困惑，因为这正是数学对象含义发生变化的时期．今天学生们理解上的困惑，在一定意义上正是历史上思想困惑的逻辑“重演”．因此考察数学对象的历史演变，总结前人在理解数学对象演变时的经验教训，无疑对今天的数学教育有着重要的启发意义．在数学教育中，笔者通过对历史的研究，把握历史上出现的、现在可能在课堂中重新出现的各种困难甚至障碍，优化教学设计，帮助学生更好地理解数学．本文是笔者在课堂教学中讲授数学史、讲授数学家的故事来渗透课堂文化所做一些探究．案例l：复数概念学习中介绍复数的发展史复数的学习是数的概念的又一次扩充，由于刚刚接触复数，很多学生感觉不易理解、无法接受，这时他们往往把原因归咎予自身的智力，甚至对自己的学习能力产生怀疑．如果能让学生了解他们遇到的困难也正是在18世纪困扰着当时数学界的难题，他们遇到的困惑也曾经同样困扰着很多伟大的数学家，那么通过还原历史的原貌，可以使他们更加亲近数学，增强学习数学的信心．在复数的教学中，我指导学生利用图书馆、互联网搜集信息，了解数的发展历史，如：数学史上的三次危机，数的发展，数学家的故事等，在课外查找资料过程本身就是学生的一个探究学习的过程．在课堂教学中让学生通过网页来讲故事：1545年，意大利数学家卡尔丹在所著的《重要的艺术》的第37章中，列出并解出了把10分成两部分，使其乘积为40的问题，方程是x(10—x)=40．他求得根为5--5和5-5然后说，“不管会受到多大的良心责备”，把5--5和5-5相乘，得乘积为）（15--25，即40．卡尔丹在解三次方程时，又一次运用了负数的平方根．卡尔丹肯定了负数的平方根的用处．数学家为此创造了“虚数”，以符号i表示，并规定1-2i，-1的平方根当然就是i了．这样一来，负数开平方的难题就迎刃而解．这就是科学的创新精神．然而，用i表示虚数的单位，却是直到18世纪著名的数学家欧拉提出的，这看似简单的符号却经历了两百多年才出现，这就是数学发展的艰辛历程．“实数”、“虚数”这两个词是由法国数学家笛卡尔在1637年率先提出来的．后人在这两个成果的基础上，把实数和虚数结合起来，记为bia的形式，称为复数．在虚数刚进入数的领域时，人们对它的用处一无所知．实际生活中也没有用复数来表示的量，因而，最初人们对虚数产生怀疑和不接受的态度．18世纪对于“虚数”的争论让很多数学家非常困惑，到19世纪仍然对此争论不休．对于1-，柯西说：“我们可以毫无遗憾地完全否定和抛弃一个我们不知道它表示什么，也不知道应该让它表示什么的数，”哈密尔顿也置疑“在这样一种基础上，哪里有什么科学可言”．大数学家欧拉对于虚数概念也是不甚了了．在《代数学引论》中，他写道：“因为所有可以想象的数要么大于零，要么小于零，要么等于零，所以负数的平方根显然是不能包含在这些数之中的．因此我们必须说，它们是不可能的数.它们通常被称为想象的数，因为它们只存在于想象之中．”有趣的是，对此抱否定态度的爱因斯坦，却恰恰是他先把复数运用到了物理学领域．课堂中学生了解这些史实，有效地增进他们学习数学的信心，让他们感觉数学并不是一种神化的科学．当数学沿着历史的台阶走下神坛时，也揭开了数学文化神秘的面纱．案例2：数形结合思想在解析几何教学中的渗透数形结合思想是高中数学的重要思想方法，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数与形互相结合的思想使代数与几何相结合，也就是在解决数学问题时，根据问题的背景，借助于“形”去观察“数”，借助于“数”去思考“形”，用代数方法解决几何问题，用几何方法解决代数问题，将数与形统一起来．勾股定理是我国最早的将数与形结合的典范，法国数学家韦达(1540一1603)，笛卡尔(1596—1650)等在数形结合方面都取得了突出的成就．在教学中，可以针对具体内容进行数形结合思想的渗透．解析几何教学是进行数形结合思想渗透的一个良好的切入点，课堂上我向学生介绍以下一些数学思想史：由于17世纪笛卡尔借助坐标系建立起平面上的点和数之间的对应关系，所以才使用方程表示曲线变成可能．解析几何的出现将空间形式的研究转化为数量关系的研究．如两点间的距离，如果两点的坐标11(,)xy、22(,)xy给定，则其距离就表示为一个代数式221221)()(yyxx，于是几何学上两点之间的测量问题就转化成代数学上求一个代数式的值的问题．笛卡尔创立了坐标系，才使负数有了几何解释，负数才得到公认．在这以前，中国的负数概念出现的很早，而国外的负数概念出现得很晚，致使许多科学家一直采取不承认的态度，认为它是“荒谬的”．历史上一些长期得不到解决的几何问题，借助于代数方程，得到了结论，如用尺规作图三等分任意角问题，作二倍立方体的问题等，被证明是尺规作图不可能解决的问题．反过来，代数借用几何的术语，与几何进行类比，得以迅速的发展，例如线性代数借用几何的空间、线性的概念，获得了强大的生命力．在解析几何教学中，数形结合的思想的运用是无需过多赘言的，而对于代数问题的解决，如果能够利用“形”的作用，其效果要比纯理论的推演，繁琐的论证要好得多，以下面两个例子来说明．例1：设Ra，求证2222(1)(1)22xyxy简析：用代数方法不易证得，借用几何图形．解1：左边配方111122）（）（aa联想到两点间距离公式，左式表示动点0,aP到定点11)11(，，，BA的距离之和，由三角形性质22ABPBPA,即得所证不等式．解2:在上面配方式中令1,yax，联想到椭圆定义：22112222yxyx）（）（表示椭圆1222yx，因为1222yx，表示动点)1,(aP在椭圆1222yx上或椭圆外部，于是22111122）（）（aa原不等式得证．在教学中注意渗透数学史和数学故事中的数学思想方法，可以拓宽学生知识视野，充分认识问题的本质特征，使学生从最初、最古老的解决问题的方法中得到启示，形成会学数学、会用数学的意识．案例3：古题今用，培养创新意识对于已经掌握了一定数学知识的学生来说，数学史上的古题仍然能使他们引起兴趣．激发求知欲．古题新用，在挖掘数学史中古题的思想方法的基础上，将之用于新的数学问题思考中，可以培养学生的创新意识．古题（阿拉伯分羊故事）：有个牧羊人，在临终前要把他所有的财产----17只羊，分给他的三个儿子，要求大儿子得羊总数的一半，二儿子得羊总数的三分之一，小儿子得羊总数的九分之一，但羊不能杀死或卖掉，三个儿子绞尽脑汁，也想不出分羊的办法，于是他们只好求助于一位草原上众所周知的智者．智者带来了他自己的一只羊，再让三兄弟重新分，于是大儿子牵了18只羊的一半----九只，二儿子拉了18只羊的三分之一----六只，小儿子领走18只羊的九分之一----两只，剩下一只归还给聪明人，问题终于解决了．这分羊问题在实际上能行得通，但不合常理，而在数学上是完全合理的，但这一借一还的巧妙思维，却给我们解决一些真正的数学问题有很大的启发和帮助作用．新题：在求无穷等比数列前n项和的教学中，有这样一题，某汽水商店有个规定，3个空汽水瓶可以换一瓶汽水喝．有位顾客买了lO瓶汽水，问题是他最多能喝几瓶水?我们不妨这样想：这位顾客先喝10瓶汽水，得到10个空汽水瓶，可以再换三瓶汽水又余一只空瓶，喝完这3瓶汽水后，他手上又有4只空瓶，可以再换一瓶汽水，余两个空瓶．于是这个人最多能喝14瓶汽水而余两个空瓶，那么，余下的两个空瓶不是浪费了吗?受分羊问题的启发，我们不妨让顾客先借一个空瓶，这样又可以换来一瓶汽水，喝罢再还别人一只瓶子，如此，就发挥了最大的效益，不浪费一只瓶子，共喝了15瓶汽水．于是，15瓶才是正确答案．有人说这一思维问题方式和分羊问题一样，在情理上还讲得过去，但在数学理论上却是行不通的．而事实上，如果运用无穷等比数列前n项的求和理论，这种思维的正确性是不难证明的．我们知道，在无穷等比数列中，当公比1q时，，这个无穷等比数列11nqa前n项和就为：11(1)lim11naqaSqq，结合汽水问题，有31,101qa，于是某人最多可喝到汽水的瓶数，正是数列各项和S，从而1531-11011)1(lim11qaqqaSn．因此，最多喝15瓶是有理论根据的，理论上也是可以行得通的，这一思维方式不但合情，而且也合理．案例4：极限教学的悖论引入高中教材从极限这一章开始，数学教学进入了高等数学的教学，讨论的问题也由有限进而了无限，学生以往接触的都是有限运算，对无限问题的思考方法感到生疏，因此，在进入本章教学前，我先介绍芝诺的著名悖论“追龟说”，进行如下的教学：今天上课之前，我先给大家介绍一个希腊数学史上非常著名的问题----“追龟说”．“追龟说”讲的问题是阿基里斯(古希腊神话中擅跑之神)追乌龟，永远追不上．比如，阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在人前1000米，当阿基里斯跑1000米，到达龟的出发点时，龟已向前又爬了100米；阿基里斯继续追，再跑100米，龟又前进了10米；阿基里斯再追10米，龟又前进了l米，继续追1米，龟又爬行了0.1米，….这样下去，不论阿基里斯怎样追，他和乌龟永远相隔一小段距离，所以阿基里斯永远也追不上乌龟．“追龟说”又称为“芝诺悖论”，是古希腊伊利亚学派的代表芝诺提出的．“追龟说”明显违背生活常识，是一个谬论．但当时的古希腊人明知阿基里斯一定能追上乌龟，但是却无法证明“追龟说”错在何处，这就成为希腊数学史上有名的难题，直到17世纪微积分学产生，这个问题才算基本解决．我们来分析一下这个问题，当阿基里斯最终追上乌龟是，两者之间的距离为O．那么问题就转化为由距离构成的数列1000，100，10，1，1.0，…，中的项最终能否无限的接近于O．今天我们学习了极限的概念后，就可以解决刚才的这个问题了．“追龟说”激发了学生的认知冲突，巧妙地激发学生的学习兴趣，这样引入极限定义，顺利地实现从初等数学向高等数学的过渡．数学史和数学故事是数学文化的载体，为数学教学中数学文化的渗透提供了丰富的素材，在数学教学中应有意识地将数学史和数学故事融入数学课堂，除了上面提到的例子，在高中教材中还可以找到很多渗透数学史和数学故事的知识切入点，例如，在球体积公式教学中介绍古代数学家计算球体体积的思想．可以从刘徽的“牟合方盖”开始，到祖氏父子发现的祖暅原理：“幂幂势既同，则积不容异”，介绍这一原理在欧洲直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列利提出，更可以把中国数学家求体积的方法与阿基米德的“力学”推导方法作比较，启迪学生的数学思维．又如，“杨辉三角”的教学中，可以介绍相关的数学史料．“杨辉三角”实际上应称为“贾