第二章随机变量及其分布复习课

选修2-3第二章随机变量及其分布复习课肥城一中高二数学组本章知识结构随机变量离散型随机变量分布列均值方差正态分布两点分布二项分布超几何分布正态分布密度曲线3σ原则条件概率两事件独立定义:如果随着实验的结果变化而变化的变量叫做随机变量。1.随机变量的概念:如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量.2.离散型随机变量注:随机变量即是随机试验的试验结果和实数之间的一种对应关系,即是映射.试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值相当于函数的值域.我们的把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域.知识点回顾Xx1x2…xi…xnpp1p2…pi…pn称为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.X取每一个值的概率123,,,,ixxxx则称表(1,2,)ixi()iiPxp设离散型随机变量X可能取的值为3.概率分布列（分布列）4.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：(1)0,123ipi，，，≥123(2)1npppp5.求离散型随机变量的概率分布列的步骤：(1)找出随机变量X的所有可能的取值(2)求出各取值的概率(3)列成表格。定义：一般地,设A,B为两个事件,且()0PA,称()(|)()PABPBAPA为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.注:⑴0(|)PBA≤≤1;⑵几何解释:⑶可加性：如果BC和互斥，那么()|(|)(|)PBCAPBAPCAABAB6.条件概率的定义:7.两个事件相互独立的定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.结论:如果事件A与事件B相互独立,那么A与B,A与B,A与B也相互独立.8、什么叫n次独立重复试验？9、什么叫二项分布？定义：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是knkknppCkXP)1()((,)XBnpX服从二项分布～并称p为成功概率定义:在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么nk,,2,1,010、离散型随机变量的均值数学期望1122iinnEXxpxpxpxpP1xix2x······1p2pip······nxnpX11、数学期望的性质baEXbaXE)(12、如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1－p则EXp13、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则EXnp13、随机变量的均值与样本的平均数有何区别？随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的。14.离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：22211()()()iinnDXxEXpxEXpxEXp则称为随机变量X的方差。21()niiixEXpP1xix2x······1p2pip······nxnpX称XDX为随机变量X的标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。15.随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的。16.几个常用公式：2()DaXbaDX(1)XDXpp若服从两点分布，则~(,)(1)XBnpDXnpp若，则17.正态曲线的定义:这条曲线就是或近似地是下面函数的图象：22()21(),(,)2xxex其中实数μ和σ(σ0)为参数,我们称的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.X落在区间(a,b]的概率为:aby,()yx,()()baPabxdx≤XX的分布为正态分布.正态分布完全由参数和确定,因此正态分布常记作2(,)N.如果随机变量X服从正态分布,则记为2(,)NX18.正态分布的定义:注意:可以近似的认为μ是均值,σ是标准差.012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.19.正态曲线的性质（4）曲线与x轴之间的面积为1（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)1σ2π22()21(),(,)2xxex012-1-2xy-3μ=0σ=0.5012-1-2xy-3μ=1σ=0.5σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.（5）当σ一定是时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.正态曲线的性质22()21()2xxe20.特殊区间的概率:-a+ax=μ9974.0)33(9544.0)22(6826.0)(XPXPXP当3a时正态总体的取值几乎总取值于区间(3,3)之内,其他区间取值几乎不可能.在实际运用中就只考虑这个区间,称为3原则.•[例1]如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.•(1)求p；•(2)求电流能在M与N•之间通过的概率．[解析]记Ai表示事件：电流能通过Ti，i＝1,2,3,4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M与N之间通过．(1)A－＝A－1·A－2·A－3，A1，A2，A3相互独立，P(A－)＝P(A－1·A－2·A－3)＝P(A－1)P(A－2)P(A－3)＝(1－p)3.又P(A－)＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.(2)B＝A4＋A－4·A1·A3＋A－4·A－1·A2·A3，P(B)＝P(A4＋A－4·A1·A3＋A－4·A－1·A2·A3)＝P(A4)＋P(A－4·A1·A3)＋P(A－4·A－1·A2·A3)＝P(A4)＋P(A－4)P(A1)P(A3)＋P(A－4)P(A－1)P(A2)P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891.【例2】袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等.用ξ表示取出的3个小球上的最大数字,求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布；（3）计分介于20分到40分之间的概率.解(1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P（A）=方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记B则事件A和事件B是互斥事件因为P(B)=所以P(A)=1-P(B)=3111522231023CCCCC12152831013CCCC12133(2)由题意，ξ所有可能的取值为2,3,4,5,P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=所以随机变量ξ的概率分布列为21122222310130CCCCC21124242310215CCCCC21128282310815CCCCC21126262310310CCCCCξ2345p130215310815(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=2313151030【例3】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.分析（1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.X013P（1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的概率分布列为(2)E(X)=D(X)=33213A133312CA33116A13121611101313262221110111311326解:X所有取值为0,1,35%10%p0.80.22%8%12%p0.20.50.3【例4】A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据市场分析，和的分布列分别为(1)在A、B两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D()、D();（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，（100-x）万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值.1X2X1X2X1Y2Y1Y2Y510p0.80.22812p0.20.50.3解（1）由题设可知和的分布列分别为=5×0.8+10×0.2=6,=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,(2)f(x)当时，f(x)=3为最小值.1Y2Y1EY221560.81060.24DY2EY2222280.2880.51280.312DY22121222222210010010010010010044310046003100100100xxxxDYDYDYDYxxxx6007524x1Y2Y分析(1)根据题意，利用公式E(aX+b)=aEX+b求出随机变量Y1、Y2的分布列，进而求出方差D、D.(2)根据题意建立函数关系式，把问题转化为二次函数的最值问题.1Y2Y某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额ξ的分布列．【例5】解析：设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝19，P(A2)＝110，P(A3)＝111.(1)该单位一年内获赔的概率为1－P(A1A2A3)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－89×910×1011＝311.(2)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000.P(ξ＝0)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝89×910×1011＝811，P(ξ＝9000)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝19×910×1011＋89×110×1011＋89×910×111＝242990＝1145，P(ξ＝18000)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)·P(A2)P(A3)＝19×110×1011＋19×910×111＋89×110×111＝27990＝3110，P(ξ＝27000)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝19×110×111＝1990.综上可知，ξ的分布列为ξ090001800027000P811114531101990某地区试行高考考试改革：在高三学年