解三角形大题及答案

1．（2013大纲）设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求.2．（2013四川）在中,角的对边分别为,且.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.3．（2013山东）设△的内角所对的边分别为,且,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.4．（2013湖北）在中,角,,对应的边分别是,,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面积,,求的值.5．（2013新课标）△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.6．（2013新课标1）如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA[7．（2013江西）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-√3sinA)cosB=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围ABC,,ABC,,abc()()abcabcacB31sinsin4ACCABC,,ABC,,abc232coscossin()sincos()25ABBABBACcosA42a5bBABCABC,,ABC,,abc6ac2b7cos9B,acsin()ABABCABCabccos23cos1ABCAABC53S5bsinsinBC33．（2013大纲）设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求.【答案】4．（2013年高考四川卷（理））在中,角的对边分别为,且.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.【答案】解:由,得,即,则,即ABC,,ABC,,abc()()abcabcacB31sinsin4ACCABC,,ABC,,abc232coscossin()sincos()25ABBABBACcosA42a5bBABC232coscossinsincos25ABBABBAC3cos1cossinsincos5ABBABBB3coscossinsin5ABBABB3cos5ABB3cos5A由,得,由正弦定理,有,所以,.由题知,则,故.根据余弦定理,有,解得或(舍去).故向量在方向上的投影为35．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△的内角所对的边分别为,且,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理,得,又,,,所以,解得,.(Ⅱ)在△中,,由正弦定理得,因为,所以为锐角,所以因此.36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））已知函数的最小正周期为.3cos,05AA4sin5AsinsinabABsin2sin2bABaabAB4B2223425255cc1c7cBABC2cos2BABABC,,ABC,,abc6ac2b7cos9B,acsin()AB2222cosbacacB222(1cos)bacacB6ac2b7cos9B9ac3a3cABC242sin1cos9BBsin22sin3aBAbacA21cos1sin3AA102sin()sincoscossin27ABABAB()4cossin(0)4fxxx(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)讨论在区间上的单调性.【答案】解:(Ⅰ).所以(Ⅱ)所以37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.(1)求函数与的解析式;(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.【答案】解:(Ⅰ)由函数的周期为,,得又曲线的一个对称中心为,故,得,所以将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数()fx0,22)42sin(2)12cos2(sin2)cos(sincos22xxxxxx1221,2)42sin(2)(xxf；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[xxxx.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在xfy(Ⅱ)当时,,所以问题转化为方程在内是否有解设,则因为,所以,在内单调递增又,且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,即存在唯一的满足题意(Ⅲ)依题意,,令当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,现研究时方程解的情况令,则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况,令,得或当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于当且趋近于时,趋向于当且趋近于时,趋向于当且趋近于时,趋向于故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以综上,当,时,函数在内恰有个零点38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14分.已知,.(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.【答案】解:(1)∵∴即,又∵,∴∴∴(cos,sin)(cos,sin)ab＝，0||2abab(0,1)cabc,2||ba2||2ba22222bbaaba1sincos||2222aa1sincos||2222bb222ba0baba(2)∵∴即两边分别平方再相加得:∴∴∵∴39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知函数,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)因为,,所以,所以,所以.40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数.(I)若是第一象限角,且.求的值;(II)求使成立的x的取值集合.【答案】解:(I))1,0()sinsin,cos(cosba1sinsin0coscossin1sincoscossin22121sin21sin061,65()2cos12fxxxR6f3cos53,2223f2cos2cos2cos1661244f22cos22cos2cos2sin233124f3cos53,224sin524sin22sincos25227cos2cossin2523fcos2sin2724172525252()sin()cos().()2sin632xfxxxgx33()5f()g()()fxgx.(II)41．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,.(1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵,∴∴,∴根据得(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则∴533sin3)(sin3sin23cos21cos21sin23)(fxxxxxxf51cos12sin2)(,54cos)2,0(,53sin2g且21)6sin(cos21sin23cos1sin3)()(xxxxxxgxfZkkkxkkx],322,2[]652,62[6ACACABBCAACmin/50mmin2ABBmin1Cmin/130mACm12601312cosA53cosCABC31312cosA53cosC），（、20CA135sinA54sinC6563sincoscossinsinsinsinCACACACAB）（）（sinBsinCACABmCACAB1040sinsinB1312)50100(1302)50100()130(222ttttd)507037(20022ttdCBA∵即∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理得(m)乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C设乙的步行速度为V,则∴∴∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D,设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,AB=52k,由AC=63k=1260m,知:AB=52k=1040m.(2)设乙出发x分钟后到达点M,此时甲到达N点,如图所示.则:AM=130x,AN=50(x+2),由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2AM·ANcosA=7400x2-14000x+10000,其中0≤x≤8,当x=3537(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:126050=1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C用时:1265+3=1415(min),在BC上用时:865(min).此时乙的速度最小,且为:500÷865=125043m/min.若乙等甲3分钟,则乙到C用时:1265-3=1115(min),在BC上用时:565(min).此时乙的速度最大,且为:500÷565=62514m/min.故乙步行的速度应控制在[125043,62514]范围内.13010400t80t3735t3735sinBsinAACBC50013565631260sinsinBAACBCmin/m350710500v3507105003v14625431250vC314625,43125042．（2013年高考湖北卷（理））在中,角,,对应的边分别是,,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面积,,求的值.【答案】解:(I)由已知条件得:,解得,角(II),由余弦定理得:,43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.【答案】ABCABCabccos23cos1ABCAABC53S5bsinsinBCcos23cos1AA22cos3cos20AA1cos2A60A1sin532SbcA