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论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用目录摘要:.............................................................................................................................................................0关键词.............................................................................................................................................................0Abstract.........................................................................................................................................................01绪论..............................................................................................................................................................12傅里叶级数的概念......................................................................................................................................12.1周期函数..................................................................................................................................................22.2傅里叶级数的定义..................................................................................................................................23傅里叶变换的概念及性质.......................................................................................................................103.1傅里叶变换的概念................................................................................................................................103.2傅立叶变换的性质................................................................................................................................114傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系........................................................................................125傅里叶级数和傅里叶变换的应用............................................................................................................125.1傅里叶级数的应用................................................................................................................................125.2傅里叶变换的应用................................................................................................................................13参考文献.......................................................................................................................................................15傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用摘要:傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析,而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式,它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外,傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。傅里叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分,例如余弦波,方波,锯齿波等等,傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科,物理学科,信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。傅里叶级数针对的是周期性函数,傅里叶变换针对的是非周期性函数,它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加,存在相似的特性。关键词:傅里叶级数;傅里叶变换;周期性FourierseriesAndFourierTransformsAbstract:Fourierseriesismademathematicalanalysistocyclicalphenomenon,andFouriertransformcanbeseenasthelimitformofFourierseries,italsocanberegardedasamathematicalanalysisofcyclephenomenon.Inaddition,theFouriertransformisakindofveryimportantinthefieldofsignalprocessingalgorithms.Fouriertransformisamethodofsignalanalysis,itcananalyzesignalcomponent,alsocanusetheseingredientssyntheticsignal.Manywaveformcanbeusedasasignalofingredients,suchascosinewave,squarewave,sawtoothwave,etc.,theFouriertransformasasignalofcomposition.Inelectronicsdisciplines,physics,signalprocessingdisciplinesetcmanyfieldshaveawiderangeofapplications.Fourierseriesisforperiodicfunction,Fouriertransformforisaperiodicfunction,theyareinessenceakindofpaperssaidthesignalintoacomplexsignalsuperposition,similarfeatures.Keywords:Fourierseries;FourierTransform;Periodic1绪论傅里叶级数是法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出来的,从而极大的推动了偏微分方程理论的发展,在数学物理以及工程中都具有重要的应用。积分变换起源于19世纪的运算危机,英国著名的无线电工程师海维赛德(O.Heaviside)在用它求解电工学、物理学领域中的线性微分方程的过程中逐步形成一种所谓的符号法,后来符号法又演变成今天的积分变化法。所谓积分变换,就是把某函数类A中的函数()fx乘上一个确定的二元函数(,)kxs,然后计算积分,即()()(,)baFsfxkxsdx这样变成了另一个函数类B中的函数()Fs,这里的二元函数(,)kxs是一个确定的二元函数,通常称为该积分变换的核,()fx称为象原函数,()Fs称为()fx的象函数,当选取不同的积分域和核函数,就得到不同名称的积分变换。傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析,而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式,它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外,傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。要想了解傅里叶变换算法的内涵,首先要了解傅里叶原理的内涵。傅里叶原理表明:对于任何连续测量的数字信号,都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。傅里叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分,例如余弦波,方波,锯齿波等等,傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科,物理学科,信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。傅里叶级数针对的是周期性函数,傅里叶变换针对的是非周期性函数,它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加,存在相似的特性。2傅里叶级数的概念2.1周期函数我们把凡是满足以下关系式:)()(xfTxf(T为常数)(2.1.1)的函数,都称为周期函数。周期定义:(1)满足式(1.1.1)的T值中的最小正数,即为该函数的周期;(2)一个常数以任何正数为周期。基本三角函数系:按某一规律确定的函数序列称为函数系。如下形式的函数系:1,xlcos,xlsin,xl2cos,xl2sin,…,xlkcos,xlksin,…(2.1.2)称为基本三角函数系。所有这些函数具有各自的周期,例如xlkcos和xlksin的周期为kl2,但它们的共有周期为l2(即所有周期的最小公倍数)。通常这个周期命名为函数系的周期。所以式(1.1.2)的三角函数系的周期为l2。2.2傅里叶级数的定义傅里叶级数是一类特殊的函数项级数,对周期性现象进行数学上的分析,其在理论和应用上都有重要价值。2.2.1三角级数、三角函数及其正交性在物理学中,我们知道,简谐振动是一种简单的周期运动,而在简谐振动中,一种标准而简单的简谐振动可由下面函数描述sin()nnnyAnx,(1)我们不难看出,更一般的简谐振动sin(wx)yA,可通过适当的变换为(1),将无穷多个如(1)式那样的简谐振动叠加,便得到函数项级数01sin()nnnAAnx(2)如果(2)式收敛到函数,即01()sin()nnnfxAAnx(3)则易见()fx是周期为2Ttx的函数,从()fx的角度看,如果(3)式成立((,)x),则我们便将更一般或更复杂的周期为2的函数()fx分解为简单标准的简谐振动的叠加,这对研究()fx的各种性质带来了很大的方便。于是,我们自然提出以下问题:什么条件下我们可以将一个周期为2的函数()fx表示成如(1)式那样简单,标准的简谐振动的叠加?即什么条件下(3)式成立?更一般地,什么条件下可以将一个周期为T的函数表示成简谐振动的叠加?设g(t)周期为T,则只要令2Ttx,就有()()()2Tgtgxfx则()fx周期为2,所以我们只要讨论前一个问题就行了。为了数学推导和理论研究方便,我们将级数(2)作如下变形
本文标题:傅里叶级数与傅里叶变换关系与应用
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