导数与函数的单调性教学设计

《导数与函数的单调性》教学设计【课题】导数与函数的单调性【课时】1课时【教材分析】导数与函数的单调性是北京师范大学出版社《数学》选修2-2第三章第一节的内容。在学习本节课之前学生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二章中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备。函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。同时，在本章第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助。因此，学习本节内容具有承上启下的作用。【学生学情分析】课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，现在早已忘记；因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上。本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。【教学目标】1、知识与能力：理解单调性的导数定义,并会利用导数解决函数的单调性.2、过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。3、情感态度与价值观：（1）通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。（2）通过导数研究单调性的基本步骤（即算法）的形成和使用，使得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循，因而认识到导数的实用价值。【教学重点】利用求导的方法判定函数的单调性。【教学难点】为什么会将导数与函数的单调性联系起来【教学方法】启发式教学【课时安排】1课时【教学准备】多媒体（画出函数①()yfxx②()25yfxx③()34yfxx在同一个坐标系下的图象）；并写出以下四个函数：①()2xfxxR，②3()logfxx0,x，③sinyx,2x，④2254yxx5,4x【教学设计说明】函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。在高中数学课程中，对于函数单调性的研究分成两个阶段：第一个阶段是用定义研究单调性，知道它的变化趋势；第二阶段用导数的性质研究单调性，知道它的变化快慢。那么高一是处在第一个阶段，而高二我们是处在第二个阶段。根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象。【教学过程】教学环节教师活动学生活动设计目的新课引入新课教学探究函数的导数与函数的单调性的关系提出问题：a.函数增减性的定义是什么？b.导数的定义是什么？显示多媒体（出示3个函数的解析式及图象）引导学生观察并回答以下问题：①这3个函数图象都是直线，其斜率分别是多少？其值有何特点？单调性如何？②分别求出这3个函数的导数？并观察其导数值有何特点？板书：①函数()fxx，其直线斜率K=1，其导数值()1fx0②函数()25fxx，其斜率K=2，其导数值()20fx③函数()34fxx，思考以前学习过的数学知识，说出两个问题的概念的要点来。举手回答。学生思考、并举手回答。学生思考并归纳总结①每一条直线的斜率值等于该函数的导数值。②函数的导数值大于零时，其函数为单调递增；函数的导引导学生理解函数的单调性概念及导数的概念让学生观察导数的符号与函数图象有何联系。让学生总结出直线的斜率与导数的关系及直线的单调性与导数的关系。让学生能了解直线的单调性与函数的导数符号有关。归纳总结内容讲授其斜率K=-3，其导数值()30fx显示多媒体（出示4个函数的解析式）：引导学生完成以下问题：①在不同坐标系下分别做出这4个函数的图象？②分别求出这4个函数的导数？引导学生思考并提出以下问题：①每一个函数在某一点的切线斜率值是否等于该函数在该点处的导数值？②同一个函数在每一点处的切线的斜率值有何特点？它与该函数的单调性有何联系呢？③同一个函数的单调性与该函数的导数值有何联系呢？④函数的导数值、单调性与区间有关系吗？抽象概括数值小于零时，其函数为单调递减。学生思考并举手，教师指定一个学生上台作图。再指定一个学生上台求出函数的导数。a作图（略）b4个函数的导数是：①()2ln2xfx②1()ln3fxx③()cosfxx④()45fxx学生思考并举手回答：①是。根据导数的几何意义可得。②其斜率值都大于零或都小于零。当斜率值都大于零时，其函数为单调递增；当斜率值都小于零时，其函数为单调递减。③若函数的导数值大于零，则函数为单调递增；若函数的导数值小于零，则函数为单调递减。④有关系让学生总结出曲线的切线的斜率与导数的关系及曲线函数的导数与曲线的单调性之间的关系。让学生能了解曲线的单调性也与函数的导数符号有关。让学生再次观察并总结出曲线的切线的斜率值与导数的关系及曲线的单调性与导数的关系。例题讲解定理：一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内1)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。注意：①应正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个子区间。②如果在某个区间内恒有f/(x)＝0,则f(x)为常数函数.反思：若函数()yfx在某区间上是单调递增函数，那么导数值()0fx恒成立吗？若函数()yfx在某区间上是单调递减函数，那么其导数值()0fx恒成立吗？例1：求函数32()233616fxxxx的单调递增区间与递减区间。分析：根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关。因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间。解：引导学生回答问题并同时板书。①函数32()233616fxxxx的定义域是什么？其导数学生思考并举出反例：如函数3()yfxx，其定义域为,，在其定义域上是单调递增函数，但在0x处其导数()0fx学生思考并举手，教师指定一学生回答，同时教师板书让学生能理解利用导数的符号来判定函数的单调性之间的充分性与必要性。通过实例让学生掌握利用函数的导数符号来判定函数单调性的方法及过程；进一步让学生体会利用导数工具解决函数的单调性问题。让学生熟悉并掌握求函数的定义域及求导的方法。。课堂练习如何求？函数的定义域是,，其导数值是：2()6636fxxx6(2)(3)xx②若()0fx时，x的区间是什么？若()0fx时，x的区间又是什么？当(,2)x或(3,)x时，()0fx，因此，在这两个区间上，函数是增加的；当(2,3)x时，()0fx，因此，在这个区间上，函数是减少的。所以，函数32233616yxxx的递增区间为,2和3,；递减区间为2,3。③讨论函数单调性的一般步骤是什么？板书：a求函数()fx的导数。b讨论单调区间，解不等式()0fx，解集为增区间；解不等式()0fx，解集为减区间。c得出结论。练习：思考：回答老师问题，体会函数的单调性与导数符号间的关系及利用导数判定函数单调性的一般步骤。学生积极思考并让学生熟悉解不等式。明确利用导数是求函数单调区间的最简单的方法加强学生对利用导数求函数单调性的方法进一步熟练掌握。让学生对所学知课堂小结1、求下列函数的的单调区间:①1()()2xfx②33yxx③12()logfxx2、讨论函数2sinyxx在0,2上的单调性。小结：本节课从几个函数的图象与区间上的导数值之间的关系，引入了函数单调性的导数定义，根据定义让学生明确了利用导数求函数单调性的方法，并掌握了求函数单调性的一般步骤。课后思考；根据函数的导数定义及利用导数求函数单调性的方法步骤，如何画出函数的大致图象？举手回答；教师指定一个学生回答，教师板书。教师指定两名学生上黑板做题.其他学生自己练习.学生分组讨论，共同来研究该函数的单调性。学生回顾本节课的主要内容及函数单调性的导数定义。课后学生合作探讨。识进一步巩固和熟练掌握.培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识，从而培养学生的探究意识和探究能力。让学生明确本节课的中心内容是什么。为下一节学习利用导数求函数的极值作准备。【板书设计】标题（导数与函数单调性）一、引入：①函数()fxx，其直线斜率K=1，其导数值()1fx0②函数()25fxx，其斜率K=2，其导数值()20fx③函数()34fxx，其斜率K=-3，其导数值()30fx二、函数单调性的定义板书：对函数()yfx在某个区间内，若函数的导数()0fx，则在这个区间上，函数()yfx是增加的；若函数导数()0fx，则在这个区间上，函数()yfx是减少的三、例题讲解：②例1函数32()233616fxxxx的定义域是什么？其导数如何求？过程（略）四、练习1、求下列函数的的单调区间:①2254yxx②33yxx2、讨论函数2sinyxx在0,2上的单调性。五、思考题：（略）附教学流程符号说明：教学开始和结束符号师生互动活动学生进行的活动【教学反思】1、本节课由于提前撰写了教学设计，并且经过了精心的修改，通过课堂教学的实施，能够把新课标理念渗透到教学中去，体现了以学生为主体，以教开始学生练习复习引入提提出出问问题题问题1练习学生回答问题2学生练习例1师生互动得出结论作业布置结束得出定义师为主导的作用发挥的比较到位，学生能极思考，思维敏捷，合作学习氛围浓厚，是一堂成功的教学设计课。2、本节课存在的不足之处是：①教学引入时间较长，致使整堂课时间安排显得前松后紧。②在引导学生探讨如何把导数与函数的单调性联系起来时，列举的函数有点多；应该去掉1-2个函数（一次函数只需选一个）。③教态不够自然、大方；显得过于紧张。④由于前松后紧，课堂小结不够到位。3、①本节课教学设计安排比较紧凑，加之学生基础较好，是能够完成教学任务的，而且效果显著；但在实施过程中，由于学生对函数的增减性概念不熟透，致使引入时间较长，课堂教学的结尾显得太匆忙。②由于听课教师太多，讲课时太紧张，课堂表达显得不自然，语言不够精炼。3、改进的思路：①选取函数时去掉两个一次函数。②在引导学生提问时，问题要简明扼要。③多进行公开课，锻炼自己的胆量和语言表达能力。西乡县第二中学数学教研组王仕林2009年3月1日