大学物理力矩与角动量

1普通物理第四章角动量及其守恒定律（2课时）2课前讨论设地球绕地轴做匀角速转动，地球表面的物体相对地面都静止不动，则：对于地球表面的物体(视为质点)，有哪些物理量是守恒的？将地球与地球表面的物体视为质点系，哪些物理量是守恒的？地球沿椭圆轨道绕太阳做周期性转动，在这个过程中有哪些物理量是守恒的？v3角动量是描述转动问题的最重要的物理量之一，是解决天体问题的最重要的物理规律。角动量的概念在物理学的发展中经历了有趣的演变过程。18世纪在力学中才定义和开始利用它，直到19世纪人们才把它看成力学中的最基本的概念之一，到20世纪它加入了动量和能量的行列，成为力学中最重要的概念之一。角动量之所以能有这样的地位，是由于它也服从守恒定律，在近代物理学中应用极为广泛。4本讲教学基本要求掌握力矩的基本概念，能够熟练计算力矩及力矩的功。掌握角动量的基本概念及计算方法。掌握角动量定理及其守恒定律，能够应用它们解决典型的相关物理问题。了解有心力场的基本特征。5本讲主要问题力矩的功质点对参考点的角动量定理及其守恒律质点对转轴的角动量定理及其守恒律质点系对参考点的角动量定理及其守恒律质点系对转轴的角动量定理及其守恒律质心系中的角动量6一、力矩（momentofforce）力对参考点的力矩定义：作用于质点P的力对参考点O的力矩等于力的作用点位矢与力的叉积，即：大小方向成右手螺旋关系。FrMOdF//FPFMrF||sinMMrFFdFrrFM、、7说明力矩是对参考点而言的，讨论力矩问题必须指明参考点的位置。力矩使物体绕参考点的转动状态发生变化，即力矩是物体转动状态发生变化的原因。若力的作用线通过参考点，则其对参考点的力矩为零。FrMOdF//FP8力对轴的力矩将力对参考点的力矩在直角坐标系中投影，注意直角坐标系的三个坐标轴需满足右手螺旋关系。ˆˆˆˆˆˆxyzrxiyjzkFFiFjFkxzyoyxzxFyFzFrMPFˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()xyzxyzyzxzxyzyxzyxMMiMjMkxiyjzkFiFjFkxFkxFjyFkyFizFjzFiyFzFizFxFjxFyFk9上述结果可以使用行列式的形式表示ˆˆˆˆˆˆ()()()ˆˆˆˆˆˆxyzzyxzyxxyzxzyyxzzyxMMiMjMkyFzFizFxFjxFyFkijkxyzFFFMyFzFMiMzFxFMjMxFyFMk力对轴的力矩等于力对参考点O的力矩在坐标轴上的分量。xzyoyxzxFyFzFrMPF10实际生活中，有很多器具都应用到杠杆原理，例如杆秤、天平、辘辘、螺丝刀、扳手……右图中，z轴向里，则ˆˆˆ()()()OzyxzyxMrFyFzFizFxFjxFyFkˆˆOFZFZOGZGMFdkMFdMFdmglMmglkMmglFldxyON11说明力对轴的力矩同样是矢量，可以根据力矩的定义进行计算，但使用标量形式更简洁。投影时，注意每个分量的方向，以坐标轴方向为参照，对于未知方向的量，一律设为正。如未建立坐标系，依据力矩使质点转动的方向确定正负，通常取逆时针为正，反之为负。mgFldN12合力矩多个外力同时作用在物体上，若作用的总效果与某个力矩相当，则这个力矩叫做这多个力的合力矩。质元受多个力作用时，下面的计算合力矩的方法哪一种正确？先求合力，再求合力的力矩；计算各力的力矩，再求这些力矩的矢量和；合力矩与合力的力矩不同，不要混淆。FF13力矩的功用力使杆绕过O点且垂直于杆的轴转动，则其所做的功为对于任一宏观过程，所做的总功可表示为特别地，如果杆在恒定力矩作用下转动，则FLddrdsodAFdrFdsFLdMdrSAFdrFdsMdAMdMF14二、质点对参考点的角动量定理及守恒律质点对参考点的角动量定理设质点P质量为m，受力为，运动速度为根据动量定理有两侧以位矢左叉乘得Fv()()ddrFrPrmvdtdtddrddrmvmvrmvrmvdtdtdtdtddLMrFrmvdtdtddFPmvdtdtOyxzmLFvr15定义质点对参考点O的角动量（动量矩）描述物体转动状态的物理量（转动的量的量度）质点对参考点的角动量定理积分形式：质点对参考点的角动量的增量等于作用于质点的力对同一参考点的角冲量(angularimpulse)。物理意义：作用于质点的所有力对参考点的合力矩等于该质点对同一参考点的角动量对时间的变化率。ˆˆˆxyzLLiLjLkrmvdMLdt2121ttLLMdt16质点对参考点的角动量守恒定律物理意义：在某过程中，若质点所受的对某一固定参考点的合力矩恒为零，则质点对该参考点的角动量守恒。在中心力场中(如太阳系)，质点所受到的力与其位置矢量共线，这时，力对力心的力矩总为零。因此，质点在此力场中运动时，它对力心的角动量守恒。这也是为什么行星受到太阳的吸引，但行星不会落到太阳中去的原因。0dMLdtML若则恒矢量17例1：证明开普勒第二定律，即行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积（掠面速度或面积速度相等）。证：行星受有心力作用绕太阳转动，对力心角动量守恒sinsin2LrmvrdrLrmvmdtdSmdtdSVdt面常量常量即位矢在相等的时间内扫过相等的面积。rdrvdtdrmdSorL18例2：一质点沿直线运动，在直线外任取一点O做参考点，对该参考点而言：若质点做变速运动，其位矢的掠面速度是否相同？若质点做匀速运动，其位矢的掠面速度是否相同？解：质点运动过程中对参考点O的角动量的大小为对于变速直线运动：角动量不守恒，面积速度不相同。对于匀速直线运动，角动量守恒，面积速度相同。||sin12LrmvrmvmvddSvvddt面3v4v2v1vdo1900ttdPFdtFdtPP动量定理微分形式：积分形式：00ttdLMdtMdtLL角动量定理微分形式：积分形式：P动量守恒定律恒矢量L角动量守恒定律恒矢量Pmv平动：动量LrP转动：角动量质点的运动0F0MFM外部作用20三、质点对轴的角动量定理和守恒律质点对轴的角动量定理通常，将转轴方向做为坐标系的z轴LvrOmFzzFyFxFxyˆˆˆˆˆˆ(),,xyzxyzyzxxyzddMLMiMjMkLiLjLkdtdtdLdLdLMMMdtdtdt分量式：zyxzyxyxzzMxFyFLxPyPxmvymvdMLdt21质点对轴的角动量守恒定律若质点所受力对轴的合力矩为0，则质点对该轴的角动量守恒对于作圆周运动的质点显然：对于匀速圆周运动LROmz//FFvFzFOzyxyxLxPyPxmvymv常数ˆ()ˆ()zzzzMRFkFRLRmvkRmvddMLRmvRmadtdt0zzMLRmv常数22四、质点系的角动量定理和守恒定律质点系对参考点的角动量定理对于由n个质点组成的质点系，考察第i个质点与第j个质点的相互作用力产生的对参考点O点的力矩因此，质点组内所有内力产生的力矩的矢量和为即：质点组内力矩的矢量和恒为零，只需考虑外力矩。oirjrjmimjifijfijr()0iijjjiijijijijMrfrfrrfrf1,0niijiijMrf内23对质点系的所有质点应用角动量定理并取和物理意义：质点系对参考点的角动量随时间的变化率等于作用于质点系的所有外力对该参考点的合力矩。对上式积分，可得质点系角动量定理的积分形式质点系的角动量定理指出：只有外力矩对质点系的角动量变化有贡献。内力矩对质点系的角动量变化无贡献，但对质点系内角动量的分配有影响。()iiiidLddLMrFLdtdtdt外外dLMdt外00ttMdtLL24质点系对参考点的角动量守恒定律当质点系所受外力对参考点的合力矩为零时，质点系对参考点的角动量守恒，即质点系对转轴的角动量定理和守恒定律将质点系的角动量定理正交分解可以得到相应的轴向分量，质点系对轴的角动量定理形式为L恒矢量,,dLMxyzdt外0,ML外若则恒量，即质点系对轴的角动量守恒。说明：由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿运动定律，所以角动量定理及其守恒律只在惯性系中才成立。25问题讨论合外力矩等于零时，合外力亦为零，对吗？错！如图：对质心的合外力矩为零，但系统合外力不为零。合外力为零时，合外力矩必为零，对吗？错！如图：对于质心的合外力矩不为零，但系统合外力为零。FFCFFC26问题讨论当合外力为零时合外力矩与参考点无关，对吗？如图，对于两个力合力为零的情况，设杆长为L，则，合对质心（也可以选其它参考点）的合外力矩为显然，合外力矩与参考点无关，只与两个力的垂直距离有关。对于多个外力合力为零的情况，总可以简化成两个力合力为零的形式，故命题正确。FFC22FLFLMFL27例3：不可伸长的轻绳绕过一轻定滑轮，右侧吊着质量为的托盘，盘内放置被绑紧的质量为的弹簧，滑轮另一侧系一重物使两侧平衡，系统保持静止，设被绑紧的弹簧在细线断开时在桌面上弹起的竖直高度为h，那么在托盘上细线断开时弹簧弹起的竖直高度是多少？解：以地球为参照系，滑轮中心为参考点建立直角坐标系。将托盘、滑轮、重物、绳、弹簧视为物体系，系统对z轴的合力矩为零，即对z轴的角动量守恒。设v为弹簧上细线断开弹起时弹簧离开托盘的速度，V为同一时刻托盘向下运动的速度，滑轮半径为R。mMxyzoMMmRm28依角动量守恒定律得在桌面上，细线断开时弹簧竖直弹起，此过程仅保守力做功，系统的机械能守恒，故绑住的弹簧的弹性势能为在托盘上，细线断开时弹簧竖直弹起，此过程只有保守力做功，系统的机械能守恒，绑住的弹簧的弹性势能全部转化为系统动能xyzoMMmRm()(1)mvRMVRMmVR(2)PEmgh222111()(3)222PEMVMmVmv29由以上三式可解出弹簧离开托盘的速度为将弹簧视为质点，其在竖直方向做匀加速运动，设上升高度为H，则本题亦可用动量守恒来求解。xyzoMMmRm22MmvghMm2222222()tvvgHvMmHhgMm30*五、质心系的角动量定理当在质心系中考虑质点系相对质心的角动量随时间的变化时，如果质心系是惯性系，角动量定理当然适用。如果质心系是非惯性系，只要加上惯性力，牛顿定律仍然成立。因此只要加上惯性力的力矩，角动量守恒定理也仍然成立。对于质心参考点：质心系中质点系对质心的角动量：质点系所受外力对质心的合力矩：质点系所有质点所受惯性力对质心的合力矩*CCCiCiiCdLdMMrmvdtdtCLCM*CM31由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与质量成正比，方向与质心加速度相反，所以质点系所有质点所受惯性力对质心的合力矩为可见：不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动量定理都适用。这是质心系的独特优越性。2mnmCCa*nf2*f2CrnCr1*f1m1Cr**()()()0CiCiiCiCiiCCiiCiCiiCCMrfrmamramrmammraCCdLMdt32说明在研究行星问题时，当行星的质量与太阳质量相比不能忽略，或者求解问题要求高精度时，都应考虑太阳的运动，在这种情况下用质心系就能显示其优点了。虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但质点系在质心系中相对质心的角动量与质点系在惯性