第八届高等数学竞赛(医学类)答案

第1页共6页南昌大学第八届高等数学竞赛(医学类)答案一、填空题(每空3分，共15分)1、0；2、221cosln(1cos)2xxC；3、(2)()fa；4、(2)xx；5、0.二、单项选择题(每题3分，共15分)1、D；2、A；3、C；4、A；5、D第2页共6页三、（本题满分6分）求极限111lim1335(21)(21)nnn.解：1111335(21)(21)nn=11111111(1)()()2323522121nn=111111(1)23352121nn=11(1)221n故111111limlim(1)1335(21)(21)2212nnnnn四、（本题满分6分）设)(1lim)(2212Nnxbxaxxxfnnn，试确定a、b的值，使与)(lim1xfx1lim()xfx都存在.解：当||1x时，221limlim0nnnnxx，故2()fxaxbx；当||1x时，1()fxx21,1,(),11,1,1,xxfxaxbxxxx11lim()1,lim(),1xxfxfxabab11lim(),lim()1,1xxfxabfxab故0a，1b。第3页共6页五、（本题满分7分）计算1ln(ln)lnxdxx.解：原式1ln(ln)ln111ln(ln)lnlnln(ln)xdxdxxxxxdxdxxxxxxc六、（本题满分7分）设)(xf在1.1上有二阶连续偏导数，0)0(f，令xxfxg)()(，)0()0(,0fgx，证明1）)(xg在0x处连续，且可导，并计算)0(g；2）()gx在0x处也连续.证明：（1）00()(0)lim()lim'(0)(0)0xxfxfgxfgx，故)(xg在0x处连续2200()'()()'()()',0()'(0)'()'(0)1'(0)limlim(0)22xxfxxfxfxgxxxxfxxffxfgfxx（2）2000'()()()'()'()1lim'()limlim(0)'(0)22xxxxfxfxxfxfxfxgxfgxx第4页共6页七、（本题满分8分）一张1.4米高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8米.问观察者应站在距墙多远处看图才最清楚（即视角最大时看图最清楚）？解：设观察者与墙的距离是x米，则视角可表示为x的函数1.41.81.83.21.8arctanarctanarctanarctan,(0,)xxxxx由于观察者距墙太远或太近，看图都不太清楚。因此在(0,)内确实有最大值。由于'22223.21.83.21.8xx令'0，求得函数在(0,)内的唯一稳定点2.4.x根据费马定理，函数的最大值只可能在2.4x取得，即观察者应站在距墙2.4米处看图最清楚。八、（本题满分7分）设函数(,,)ufxxyxyz具有二阶连续偏导数，求2.uzy解：令,,pxqxyrxyz，则'rufxyz2'''''()rrqrruxfxyfxfxzzy第5页共6页九、（本题满分7分）求极限：12201limxyxyxey.解：122220222222412201limlim()0()limlim01lim0xyxyxxyyxyxyxyxxyxxyxyxyxexyeyxyxyxyeeexyxeexey十、（本题满分7分）设22240,xyzz求22.zx解：令222(,,)4,Fxyzxyzz则22222232,24,,2(2)(2)(2)2.(2)(2)(2)xzxzFxFzFzxxFzzxzxzxzzxxzxzzz第6页共6页十一、（本题满分8分）讨论22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy在（0，0）点的连续性和可微性。解：（1）连续性：22(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)20lim(,)limlimlim01()xyxyxyxyxyfxyxyyyyx从而连续.（2）可微性32222()fyxxyxy32222()fxyxyxy令(,)(,)xykyy321()1fxk显然不连续,fy同样不连续,所以不可微.十二、（本题满分7分）设1()ln,'(0)xFxttdtF求解：100()ln'()lnlnln'(0)limlnlimlim01xxxxFxttdtFxxxxxFxxxx