数学解题理论概述

数学解题方法论主要是研究和讨论数学解题的一般规律、法则和方法的学科，是关于解题和寻找解题方法途径的研究。解题是数学教师的基本功，美国数学家哈尔莫斯指出：“问题是数学的心脏,数学家存在的理由就是解问题。因此，数学的真正的组成部分是问题和解”。著名的数学家波利亚也曾说过，“掌握数学就意味着善于解题”，“中学数学教育首要的任务就是加强解题训练”。名师出高徒,要培养学生的解题能力,教师首先要有高超的解题能力。一名优秀的数学教师,必须具备良好的数学专业素养和精湛的教学艺术,而解题基本功不仅仅是数学专业素养的构成因素,同时也是教学艺术的某种体现。§1数学问题及其类型一、数学问题的含义1、数学问题是一种需要行动的情况波利亚在《数学的发现》一书中指出，“有问题指的是，有意识地寻求某一适当的行动以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。”2、数学问题是一种情境尼斯Niss指出，一个数学问题是一个对人具有智力挑战特征的，没有现成的直接方法、程序或算法的未解决问题的情景。3、数学问题是一种题系统奥加涅相认为，研究系统（S,R），其中S代表某个主体，R代表某个构成一个抽象系统的几何，称集合R为题系统。4、数学问题是一种集合斯托利亚尔在《数学教育学》中指出，用数学术语记号叙述某一个“对象领域”，这种对象领域可以用一个或几个集合，这几个集合能并成一个全集，与其中规定的谓词构成的问题称为数学问题。5、数学问题是一种以潜问题的形式被主题数学心理场所感知的数学模式序缺王秋海先生提出，数学模式序缺是数学问题产生的根源，这种模式序缺以潜在的形式独立存在于数学模式之中，只有被人们的数学心理场感知方向方可称为真正的数学问题。所有的问题都会有三种成分:①给定(Givens),即一组给予的信息;②目标(Goals),问题要求的或结尾的状态,即关于构成问题的结论描述;③障碍(Obstacles),思维者无法立即找到正确的答案,必须通过一定的方式来改变给定状态,逐步达到目标要求.问题的一般含义：给定的信息和目标之间有某些障碍需要加以克服的情景。二、数学问题的特征数学问题具有以下特征:（1）客观性:数学问题对于主体来说就是一种客观的存在,所以,主体在接受问题时,必然会对问题产生感知和理解.（2）障碍性:数学问题对于主体来说具有一定的困难,用习惯的反应和模式会失败,于是可能出现多次失败的尝试.（3）挑战性:数学问题一旦为个人所感知,就对人的智能构成了一种挑战,迫使他探索新的处理方法.三、数学问题的类型1、弗里得曼的三分法:即按数学的问题的外在形式可以分成求解题、证明或说明题、变换题或求作题.2、系统要素分类法:按照奥加涅相等人的观点,数学问题是一个系统,其构成要素主要有四个:问题的条件，问题的结论、解题的方法、解题的依据.根据题目系统中要素的已知情况,可以将数学问题分为标准性题、训练性题、探索性题和问题性题四类.四个要素都为已知的题即为标准性题.如果四个要素中有一个要素未知,其余三个要素已知,这样的题称为训练题.如果四个要素中有两个要素已知,其余两个要素未知,则称这样的题为探索性题.如果四个要素中仅有一个要素是学生已知的,其余三个都是学生所不知道的,这样的题称为问题性题.3、成分分析分类法:任何一个数学问题的陈述,都是由某些题设条件和问题的要求等两部分组成的,即初始状态和目标状态,系统由初始状态向目标状态运动变化过程的发现,即是解决问题的过程.从而,对于一个数学问题,我们可以把它分解成三个基本成分:A.初始状态—问题的条件；B.解决问题的过程—根据一定的知识经验,变换问题的条件,向结论过渡;C.最终状态—问题的结论.这样可以将数学问题分为三类:标准题、封闭性变式题、开放性变式题.如果一道题的条件和结论都是很明显的,其解题过程也是解题者所熟知的，那么就称为标准题.如果对标准题作一些改造和变化，使其三个基本成分中缺少一个或两个，这些成分解题者不知道或不明确，这样的题称为封闭性变式题（A、B已知，C未知）或开放性变式题（A已知，B、C未知）.4、按开放性分类:按题目中条件或结论等成分确定与否,可将数学题分为封闭题和开放题两类.凡是具有完备的条件和固定的答案的题目称之为封闭题,凡是答案不固定或者条件可以变换的题目称之为开放题.5、按问题层次分类:在英国,对“问题”有两种理解,一是认为“问题”应与现实生活的实际有关;另一观点则只考虑数学理论中的问题.布茨综合二者,按照题目性质、水平层次,将数学问题由低到高划分五类:识别练习题、算法练习题、应用问题、开拓—探究问题、情景问题.识别练习题只要求解题者识别或回顾一个具体的事实、定义或一个定理的陈述.通常以判断正误、填空或多重选择等形式提出.算法练习题是指依据程序算法,可通过一步步的推理演算解决的问题。应用问题即应用算法解决实际问题,其解法包括两大步骤:首先用符号公式表示实际问题中的数量关系;再按各种算法对符号进行运算.开拓—探究问题本身的陈述通常不包含解题策略,不像前三类题目那样：解题策略包含在问题的陈述中,克服困难主要是文字转换以用相应知识解决.开拓—探究问题需要解题者尝试、分析、探究,才能明确解题策略和方法.情景问题包括的不是问题本身,而是情景.这类问题不告诉你:“这是个问题,解决它”,而是说:“这是个情景,试想一想”.解决情景题重要的一步是认识情景中解题所利用的问题本身的属性.§2问题解决的要素和一般模式一、问题解决的要素1、问题表征心理学把信息在头脑中记载或呈现方式称为表征(简称表征).表征是影响问题解决的一个重要因素,是问题解决的中心环节,他说明问题在头脑里是如何呈现、如何表现出来的,这是解题活动的开始起着十分重要的作用.表征可借助实物、画图等方式。2、问题解决的程序:问题解决通常使用“手段—目的分析法”.它的思维方法是把总目标分成子目标,把自己现有的状态与目标状态作比较,运用算子(认知心理学将在解决问题中从一种状态变为另一状态所采取的各种方法称为“算子”)进行匹配,消灭差别,最终达到总目标.3、模式再认:长期积累的知识基础是问题解决的有效操作依据.知识基础构成快速活动的模式再认系统,这种系统极大地减少信息加工的负荷,模式的特点是它与新问题在知识组织的层次和性质上的相似性,它能对适宜的操作过程提供帮助.美国数学教育家舍费尔德提出了问题解决能力的四个构成要素：1认知资源：解题者所具有的与问题有关的数学知识；2发现式解题策略：解决非常规、非标准的问题时所用的策略和技巧；3控制：对解题过程的控制；4信念系统：解题者怎样看待自己，看待数学，看待环境。一般数学解题的思考过程：1了解问题；2尝试理解整个问题；3试探一些思路；4寻找新信息和局部评价；5实施计划；6证实；7以上各阶段之间的联系和转变。二、问题解决的一般模式1、杜威的五个步骤经验到困难解决方法的检查验证通过推断检验解决方程可能解决方法的产生困难的界定弄清题意回顾解题实施计划拟订计划2、产生式模式产生式是一种“条件——动作”规则。只要条件一出现，动作就会自动产生，这里所说的动作不仅是外显的行为反应，还包括内隐的心理活动或心理运算。3、波利亚的“怎样解题表”4、RMI原则关系（relationship）映射（mapping）反演（inversion）方法，简称为RMI方法，它是一种十分重要的数学方法，由于徐利治教授的大力倡导，在国内普及很快，其基本思想可用以下框图来表述:问题解答问题*问题**解答*解答**映射逆映射映射逆映射从框图不难看出，RMI方法仍是化归方法。它是一种特殊的化归方法，其关键是找出映射关系。中国著名数学教育家、数学方法论专家-----徐利治原象关系结构（原象系统中的问题）映射映射关系结构（映射系统中的问题）在映射系统中求得解决在原象系统中作出解决反演关系映射反演方法的基本含义称大象的问题转化称石头的问题石头问题得到解决大象问题得到解决转化映射反演原象系统中的问题映象系统中的问题在映象系统中求得解决在原象系统中作出解决曹冲称象与关系映射反演法例某班有四个课外活动小组。已知有二分之一的学生参加语文小组，有四分之一的学生参加英语小组，有八分之一的学生参加数学小组，还有6名学生参加科技小组。如果参加者互不重复，该班有多少人？1214186人11arcsincot35arc例计算的值。12122,3,55,iii解设则因为12121arcsincot3argargarg()5arczzzz1arg(55),arcsincot3.445iarc所以§3数学解题观数学解题观即是一个人对数学解题所持有的看法,以回答“解题的实质是什么?”数学解题观是解题理论中一个基本问题,因为,对于一个训练有素的数学教师来说形成一个正确、合理的解题观,这对于从较高角度认识解题过程、弄清解题本质是非常必要的,也只有这样,才会在解题观基础上掌握解题规律、形成解题经验、提高解题能力.一、解题就是问题转换波利亚的数学解题观可以简单概括为“问题转换”。他认为解题就是把问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已解决的问题，即问题的连续变换过程。111s=1++++.12123123nLLL例题：求和0()(1).()().!(),1,(1)11.nnxxsxxsxsxnsxexsse构造：则有取为了达到“问题转换”,波利亚在他的“怎样解题表”,给出了一系列提示语:把问题转化为一个等价的问题,把原问题化归为一个已解决的问题,去考虑一个可能相关的问题,先解决一个更特殊的,或更一般的问题,等等,由此可见,在大数学家、数学教育家波利亚眼里，解题的实质就是问题转换，问题转换的过程就是解题。波利亚的结论是：“如果我们不用‘题目变更’，几乎是不能有什么进展的”。二、解题就是给出原理序列前苏联数学家费里得曼在《怎样学会解数学题》一书中对数学解题的实质也进行了研究,他认为“解数学题,这就是要找到一种数学原理(定义,公理,定理,定律,公式)的序列,把这些原理用于习题的条件或者条件的推论(解题的中间结果)得到习题所要的东西,即习题的答案”.41,,1xxxx例设长为的三条线段是一个钝角三角形的三条边，求的取值范围。22211,1124(1)(1)xxxxxxxxxx由故只要得。弗里得曼认为:“如果把解题过程理解为从开始得到习题到完全解完这道题的过程,那么这个过程显然不单是由叙述已经找到的解题组成的,而是由一系列的阶段组成的,叙述题解只是其中的一个阶段.”他把全过程分成8个阶段：1-----分析习题;2-----作习题的图示;3-----寻找解题方法;4-----进行解题;5-----检验解题;6-----讨论习题;7-----陈述习题答案;8-----分析题解.三、数学解题就是连续化简唐以荣教授提出了“解题过程的本质”这个问题,并经过潜心研究得出“连续化简”这一观点.唐以荣教授指出:“解题的根本要求是什么?是有目的、有根据的连续化简(简称连续化简),即在完全合乎逻辑的前提下,把原题连续地化成比较简单的题目,直到新的题目与原题的结论或条件产生明显的逻辑联系为止”,“解题的根本要求就是连续化简”.21(2)1111(3)11110(4)111111()0111abcaabbbcccaabacaabbbcccaaacbaabccabbcccaaabcabcccaaabbbc分析：即证即证即证即证(5)11()0(6)11110abcaccaaabbbcabc即证即.1:,111aba1a5abccaccbcbb求证已知例sinsin6ABCsinC,90coscosABCAB例中，已知求证：。sincosC22sincos9022coscos22ABABCCABAB由2可证：。1137ABCA60.abacabc例中，已知