南昌大学第七届高等数学竞赛医学类试题及答案

第1页共13页南昌大学第七届高等数学竞赛(医学类)试题序号：姓名：学院:第考场专业：学号：考试日期：2010年10月10日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156677877787100得分注:本卷共七页,十二个大题,考试时间为8:30——11:30.一、填空题(每空3分，共15分)得分评阅人1、20sin1lim11xxxex；2、设(0,0),xababxyabbxa则(1)y；3、321xdxx；4、设0()ln1sin2lim531xxfxx则20()limxfxx_____________；5、当0x时,ln(1)1xex与nx是同阶无穷小，则n=。第2页共13页二、单项选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、函数2sinyxx在区间,2上的最大值=（）(A)233；(B)322；(C)223；(D)332.2、曲线21yxxx（）(A)有一条水平渐近线和一条斜渐近线；(B)有一条垂直渐近线；(C)没有渐近线；(D)有两条水平渐近线..3、设222222221()sin,0(,)0,0xyxyxyfxyxy,则(,)fxy在点(0,0)处（）(A)两个一阶偏导数不存在；(B)可微，但两个一阶偏导数不连续；(C)不可微，但两个一阶偏导数存在；(D)两个一阶偏导数连续.4、当0x时，20()()xfxttdt的最大值为()(A)16；(B)15；(C)23；(D)345、设1997()tan,fxxx则(1997)(0)f()(A)0；(B)1；(C)2；(D)1.第3页共13页三、（本题满分6分）设()fx在点0x处可导，0,0hk，求0000()()limhkfxhfxkhk.四、（本题满分6分）设1ln(),0,1xtfxdtxt求1()()fxfx.得分评阅人得分评阅人第4页共13页五、（本题满分7分）计算1sindxx.六、（本题满分7分）求证方程cos0xpqx有且仅有一个实根，其中常数,pq满足01q.得分评阅人得分评阅人第5页共13页七、（本题满分8分）求极限121limxxxx.八、（本题满分7分）求三元函数yzux的偏导数。得分评阅人得分评阅人第6页共13页九、（本题满分7分）设()gx有连续的二阶导数，当0x时，函数22(2)0()()()xfxxtgtdt的导数与2x是等价无穷小，求(2)(0)g.十、（本题满分7分）设2sin(23)23xyzxyz,试证明1.zzxy得分评阅人得分评阅人第7页共13页十一、（本题满分8分）求微分方程(1)2(2)()yyy的通解。十二、（本题满分7分）计算二重积分2,yDIedxdy.其中D是三角形，其三个顶点分别是(0,0),(1,1),(0,1)(见下图)。得分评阅人得分评阅人oxy11D第8页共13页南昌大学第六届高等数学竞赛(医学类)试题答案序号：姓名：学院:专业：学号：考试日期：2010年10月10日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156677877787100得分注:本卷共七页,十二个大题,考试时间为8:30——11:30.三、填空题1、1；2、(1)lnxababxaabybxabxx；3、3122221(1)(1);3xxC4、10ln3.；5、3n.四、单项选择题1、A；2、A、3、B；4、A；5、A.第9页共13页三、（本题满分6分）设()fx在点0x处可导，0,0hk，求0000()()limhkfxhfxkhk.解：'0()fx.四、（本题满分6分）设1ln(),0,1xtfxdtxt求1()()fxfx.解：111ln()1xtfdtxt令1tu，则1112111()ln1lnln11ln()2xxxfuduxuuuududuuuxfx故211()()ln.2fxfxx得分评阅人得分评阅人第10页共13页五、（本题满分7分）计算1sindxx.解：1sindxx=2(sincos)22dxxx=212cos()42dxx=tan().42xc六、（本题满分7分）求证方程cos0xpqx有且仅有一个实根，其中常数,pq满足01q.证明：令()cosfxxpqx则'()1sinfxqx，由于01,|sin|1qx，所以'()0fx即函数在实数域上单调递增.又因为lim(),lim(),xxfxfx故方程只有一个实根.得分评阅人得分评阅人第11页共13页七、（本题满分8分）求极限121limxxxx.解：1121121lnlimlnln(21)lnlimln221limlim2.xxxxxxxxxxxxxxxeexee八、（本题满分7分）求三元函数yzux的偏导数。解：对x求偏导可得1,yyzzuyyxxxzxz1lnln,yyzzuxxxxyzz22lnln().yyzzuyyxxxxzzz得分评阅人得分评阅人第12页共13页九、（本题满分7分）设()gx有连续的二阶导数，当0x时，函数22(2)0()()()xfxxtgtdt的导数与2x是等价无穷小，求(2)(0)g.解：由条件得'20()lim1,xfxx2''2''00()()(),xxfxxgtdttgtdt'''2''2''''00()2()()()2()xxfxxgtdtxgxxgxxgtdt所以'''''''020002()()2()1limlimlim2(0),1xxxxgtdtfxgxgxx即''1(0).2g十、（本题满分7分）设2sin(23)23xyzxyz,试证明1.zzxy解：原方程两边分别对x和y求偏导可得2cos(23)(13)13zzxyzxx2cos(23)(23)23zzxyzyy两式相加可得2cos(23)[33()]33()zzzzxyzxyxy,从而可得1.zzxy得分评阅人得分评阅人第13页共13页十一、（本题满分8分）求微分方程(1)2(2)()yyy的通解。解：设(1)(),yPy则(2),dPyPdy代入原方程中，得2.dPPPdyy若0P，可约去P，即dPPdyy利用分离变量法，得1lnlnlnPyC，于是可得(1)1.yCy对上式继续利用分离变量法，可得12lnlnyCxC,即12.CxyCe若0P,那么立即可得.yC综合起来，原方程的通解为12.CxyCe十二、（本题满分7分））计算二重积分2,yDIedxdy.其中D是三角形，其三个顶点分别是(0,0),(1,1),(0,1)(见下图)。解：若将I化为先对y后对x的二次积分，将无法积出来，故应将I化为先对x后对y的二次积分，这时区域D应该表示为(,)|0,01,Dxyxyy所以2100111.2yyIdyedxe得分评阅人得分评阅人