南昌大学第六届高等数学竞赛(文科类)试题及答案

第1页(共6页)南昌大学第六届高等数学竞赛（文科类）试题序号姓名学院第考场专业学号考试日期：2009.10.11题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分1515101212121212100得分注：本试卷共六页，八道大题，考试时间为8:30---11:30.得分评阅人1．极限lim(9)nnnnn=.2．设22ln1xxeye，则1|xdydx=.3．设()xfxxe，则()fx的极小值为.4．设(ln)1fxx，则()fx=.5．222|23|xxdx=.一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）第2页(共6页)得分评阅人1．若0sinlim(cos)5xxxxbea，则.A1a，4bB1a，4bC1a，4bD1a，4b2．3211()9132fxxxx的图形在点(0,1)处的切线与x轴交点的坐标是.A1(,0)9B(1,0)C1(,0)9D(1,0)3．下列各式中正确的是.A01lim(1)1xxxB01lim(1)xxexC1lim(1)xxexD1lim(1)xxex4．22212lim()12nnnnnnnnn=.A1B21C0D5．2060sinlimxtxxtetdtxe=.A1B21C13D0二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的横线上）第3页(共6页)得分评阅人求极限2011lim[ln(1)]xxxx.得分评阅人设21122()112xxxefxx，求212(1)fxdx.三、（本题满分10分）四、（本题满分12分）第4页(共6页)得分评阅人已知sincosttxetyet，求22dydx.得分评阅人求不定积分1cosxdxx.五、（本题满分12分）六、（本题满分12分）第5页(共6页)得分评阅人过抛物线2yx上点2(,)aa作切线，问a为何值时，所作切线与抛物线241yxx所围成图形面积最小？七、（本题满分12分）第6页(共6页)得分评阅人设()fx与在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f，证明：存在一点(0,1)使()()ff.八、（本题满分12分）第7页(共6页)南昌大学第六届文科高等数学竞赛试题答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）1、5；2、211e；3、1e；4、xxeC；5、343.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）1、D；2、A；3、A；4、B；5、C三、（本题满分10分）2011lim[ln(1)]xxxx=20ln(1)limxxxx=0111lim2xxx=01lim2(1)xxxx=011lim21xx=12四、（本题满分12分）令1xt，则dxdt当12x时12t，2x时1t212(1)fxdx=112()ftdt=211211221ttedtdt=0-12=-12五、（本题满分12分）cossincossinsincossincosttttdydyetetttdtdxdxetetttdt22dydx=cossincossin1()()sincossincossincosttdttdttdxttdtttetet=3(12sincos)(12sincos)(sincos)tttttett=32(sincos)tett六、（本题满分12分）21cos2cos2xxdxdxxx=21sec22xxdx=tan2xxd第8页(共6页)=tantan22xxxdx=sin2tan2cos2xxxdxx=cos2tan22cos2xdxxx=tan2ln|cos|22xxxC七、（本题满分12分）设切线斜率为k，则|2|2xaxakyxa切线方程为22()yaaxa，即22yaxa又设该切线与抛物线241yxx两交点横坐标为0x和1x，不妨设01xx由222222(2)1041axayxaxayxx所以012(2)xxa，2011xxa因此1022(412)xxSxxaxadx=10322[(2)(1)]3xxxaxax=2102(243)()3aaxx=3224(243)3aa1228(243)(1)Saaa，令01Sa（唯一）当1a时0S，当1a时0S，所以在1a时S有唯一极小值，此即为最小值，从而1a时所作切线与抛物线241yxx所围成图形面积最小.八、（本题满分12分）证明：令()()xxfx，则()x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且()()()xfxxfx，又(0)0，(1)0，所以(0)(1)由罗尔定理可知，至少存在(,)ab使得()0，因此()()ff=0所以()()ff