南昌大学第七届高等数学竞赛(09级数学专业类)试题答案

第1页共3页南昌大学第七届高等数学竞赛（数学专业类2009级）试卷答案一、填空题(每空3分，共30分)1、求极限)1ln()cos1(1cossin3lim20xxxxxx=23；2、函数|2|)2()(2xxxxf不可导点的个数是1；3、1022dxxx=4；4、设xxf1)(ln，则)(xf=cexx；5、函数xxycos2在区间[0,2]上的最大值为＝36；6、设tytxcos12，则22dxyd=34cossintttt；7、若dttexFxxxt2sin)(（0x），则)(xF=)23(123sinsinxxeex；8、函数2312xx在0x处的n阶泰勒展开式（带佩亚诺型余项）为)(2)12()1(874321112nnnnnxxxx；9、若txxxttf2)11(lim)(，则)(tf=tet2)12(；10、)(limxfx存在的柯西准则是0，0X,当Xx1，Xx2时，有)()(21xfxf二、设函数f在0x处连续，对对每一个Rx成立)2()(xfxf，证明：f是常值函数.证明：对每一个Rx，)2()2()2()(2nxfxfxfxf令n，及f在0x的连续性，得)0()(fxf结论得证。三、证明：函数2sinx在)(，上不一致连续.证明：对210，0，221nx，nx2221xx，但是有022211sinsinxx所以，函数2sinx在)(，上不一致连续.第2页共3页四、设nnan2111，Nn，证明数列na收敛证明：111212211nnnaann0又112111nnnnanna单调增加且有上界，所以数列na收敛五、设)(xf在),0[上可导，且22)(0xxexf，试证：存在(0,),使得)1()(222ef.证明：令)()(22xfxexFx)1()()(222xexfxFx0lim)(lim022xxxxexf0)0(F0))((lim)(lim22xfxexFxxx所以)(xF在(0,)达到最大值，故存在(0,),使得0)1()()(222efF即)1()(222ef六、设)(xf在],[ba上可微，且0)(af，M是)(xf的上界，则Mbadxxfab)()(22.证明：由拉格朗日定理及0)(af，知存在c(,)ab()bafxdx=()()bafcxadx()baMxadx=2()2baM于是，Mbadxxfab)()(22七、设函数)(xf在],[ba上有定义且在每一点处函数的极限存在，求证：)(xf在],[ba上有界.证明：[,]ab，设)(xf在处的极限为A，则0，(,)[,]xab，有|()|1fxA，从而|()|||1fxA。由{(,)|[,]}ab为],[ba的开覆盖及有限覆盖定理得，存在有限个小开第3页共3页区间11(,)……(,)nn也是],[ba的开覆盖。记M为1||1A，……，||1nA中的最大数，则有[,]xab，有{1,2,...,}kn，使得x(,)kk，于是|()|fxM八、任意给定实数0a，令nnaacos1，（,2,1,0n），证明nnalim存在且不依赖于0a.证明：设()cosfxxx，由(0)0f，(1)0f及介值定理，有(0,1)c，使()0fc。下证limnnac：xR，存在介于c与x之间的，使得coscossin()xcxc可证：当2n时，[0,1]na，且1||nac=|coscos|nacsin1||nac1(sin1)||nac令n即得limnnac。九、设函数)(xf在),0[上单调增加，对于任何0T，)(xf在],0[T上可积，且cdttfxxx0)(1lim。证明：cxfx)(lim.(0,)x，由函数)(xf在),0[上单调增加有：22()xxftdtx()fx322()xxftdtx又322()xxftdtx3202()xftdtx02()xftdtx32ccc()x同理22()()xxftdtcxx由夹逼定理即得cxfx)(lim