IIR数字滤波器例题

说明:以下例题1我自己完整算了一遍,请大家务必动手算一遍,而不只是了解解题方法和步骤!!而例题2中,最后两个步骤乃简单的函数复合,无实质性运算,故简略表示,大家着重理解高通IIR设计中的五个步骤(当然,大家可以直接采用低通模拟到高通数字的双线性变换1111)2cot(zzs以及进行设计,然后把计算结果和我这儿例2的结果对比一下,全面掌握数字高通IIR的两种设计方法(都基于所谓的双线性变换))另外,教材上p.137习题13有误,请大家不要做了!抱歉!例1利用双线性变换及巴特沃斯低通模拟原型滤波器设计一低通IIR数字滤波器,设计要求的性能指标如下:通带边界频率25.0p,通带最大衰减dBp5.0,阻带边界频率55.0s,阻带最小衰减dBs15.解答:(1)通过)2tan(2T将数字域低通滤波器的两个边界频率转换成模拟域巴特沃斯低通滤波器的边界频率(题目没有明确要求的情况下,一般令2T),即有4142136.0)225.0(tan)2tan(pp1708496.1)255.0(tan)2tan(ss注意:在用计算器进行以上计算时,角度的单位应选择弧度(radian)而不是度(degree),否则计算结果不对.(2)下面设计满足性能指标dBdBsspp15,1708496.1,5.0,4142136.0的巴特沃斯模拟低通滤波器(设其系统函数为)(sHa).由已知条件及巴特沃斯幅平方特性,有:NcppapjH210210)(11log10)(log105.0(*)NcssasjH210210)(11log10)(log1015(**)对以上两式化简有,110)(,110)(5.1205.02NcsNcp两式相除,有9684035.250110110)(05.05.12Nps,从而有6587.2)4142136.0/1708496.1(log)9684035.250(log211010N,将2.6587上取整为N=3作为巴特沃斯低通的阶数,利用上面的(*)式求得588148.0c(当然也可以通过(**)式求得661953.0c,尽管两种途径求得的c不同,但由N=3和任一种c所确定的幅频特性)(jHa均满足最初给定的设计性能指标)由N=3查表(考试时会提供该表格)得到归一化3阶巴特沃斯多项式为)1)(1()(23ppppD,从而通过去归一化得到所求的巴特沃斯低通滤波器的系统函数:)345918.0588148.0)(588148.0(203451.0)588148.0(1)(1)(233ssssDpDsHcspa(3)对上述)(sHa施加双线性变换11112zzTs(令T=2),即得到我们所要求的低通IIR数字滤波器系统函数:)3917468.06762858.01)(2593284.01()1(0662272.0)()(21131)1/()1(11zzzzsHzGzzsa例2利用双线性变换、巴特沃斯低通原型以及s域频率变换(比如模拟高通到模拟低通的变换公式ssppˆˆ,不妨(why?)令1p)设计IIR高通数字滤波器,要求满足的性能指标如下:通带边界频率7.0p,通带最大衰减dBp1,阻带边界频率5.0s,阻带最小衰减dBs32.解答:(1)利用)2tan(2ˆT(注意倒三角符号)将数字域高通滤波器的两个边界频率转换成模拟域高通滤波器的边界频率:9626105.1)27.0(tan)2tan(ˆpp1)25.0(tan)2tan(ˆss(2)由s域频率变换关系式ˆˆpp将步骤(1)中模拟域高通滤波器的边界频率转换为模拟域低通滤波器的边界频率,不妨令1p,则有9626105.1)ˆ(ˆsps,所以转换得到的模拟低通滤波器的性能指标如下:dBdBsspp32,9626105.1,1,1(3)设计满足性能指标为dBdBsspp32,9626105.1,1,1的模拟低通巴特沃斯滤波器(设其系统函数为)(sHa).由已知条件及巴特沃斯幅平方特性,有:NcppapjH210210)(11log10)(log101(*)NcssasjH210210)(11log10)(log1032(**)对以上两式化简有,110)(,110)(2.321.02NcsNcp两式相除,有1793896.6117110110)(1.02.32Nps,从而有4654.6)1/9626105.1(log)1793896.6117(log211010N,将6.4654上取整为N=7作为巴特沃斯低通的阶数,利用上面的(*)式求得1013263.1c由N=7查表得到归一化7阶巴特沃斯多项式为)14450.0)(12470.1)(18019.1)(1()(2227ppppppppD,从而通过去归一化得到所求的巴特沃斯低通滤波器的系统函数:)21292.149009.0)(21292.137335.1)(21292.198448.1)(10133.1(96522.1)1013263.1(1)(1)(22277ssssssssDpDsHcspa(4)对步骤(3)所得到的)(sHa进行s域频率变换,即令ssppˆˆ,得到模拟高通滤波器系统函数),......()()ˆ(ˆˆ故略去合此处仅是简单的函数复ssaHPpsHsH(5)对上述)ˆ(HPsH施加双线性变换11112ˆzzTs(令T=2),即得到我们所要求的高通IIR数字滤波器系统函数:),......()ˆ()()1/()1(ˆHP11故略去合此处也是简单的函数复zzssHzG