高中数学(人教A版)选修2-3之 1.3.1二项式定理(一)

1.3.1二项式定理（1）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出．二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用．物理是我的强项数学上我同样有建树欧几里得在《几何原本》卷二设有如下命题：“任意分一线段成两段，则整段上的正方形等于两分段上的正方形与两分段所构成矩形的二倍之和。”2222)(bababaaabb?)(4ba?)(3ba?)(2banba)(二项式定理研究的是的展开式.222baba?)(100ba)()(2baba)()(3baba…此法有困难…?)(nba展开式有几项？每一项是怎样构成的？的展开式是什么？))((2121bbaa问题1:展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？))()((212121ccbbaa问题2:多项式乘法的再认识规律:每个括号内任取一个字母相乘构成了展开式中的每一项.))()((bababa3aba22ab3b①项：②系数：113C23C33C03C))()((bababa))()((bababa))()((babababa2分析13C3332232133033)(bCabCbaCaCba3)(ba③展开式：探究1推导的展开式.3)(bakkba33,2,1,0kkC3探究2仿照上述过程,推导的展开式.4)(ba1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)．各项前的系数代表着什么？a4a3ba2b2ab3b4各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数问题(a+b)4＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？每个都不取b的情况有1种,即C40,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则(a+b)4＝C40a4＋C41a3b＋C42a2b2＋C43ab3＋C44b43)．你能分析说明各项前的系数吗？a4a3ba2b2ab3b4探究2仿照上述过程,推导的展开式.4)(ba3)(ba4)(ba2)(ba2a22C2ab2b02C12C03C2abba23a13C23C33C3b4a04C24C14C34C44Cba322ba3ab4b?)(nba探究2仿照上述过程,推导的展开式.4)(bannbabababa)())(()(①项：②系数：kknba分析相乘个)(banaba中选个)(knbba中选个)(kknC0nC1nCnnCknC)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn探究3：请分析的展开过程，证明猜想.nba)(naban1kknbanb③展开式：④二项展开式的通项:1kT③二项式系数:}),,2,1,0{(nkCkn①项数：②次数：共有n＋1项各项的次数都等于n，kknknbaC)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn字母a按降幂排列，次数由n递减到0,字母b按升幂排列，次数由0递增到n.二项式定理?)1(nx)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn?)(nbannnkknknnnnnbCbaCbaCaC)()()(11001kknnnnnnCCxCxCx二项式定理例：求的展开式．6)12(xx解:直接展开)1()2()2()12(5166066xxCxCxx6665564246)1()1)(2()1()2(xCxxCxxC2423336611(2)()(2)()CxCxxx32231126016024019264xxxxxx例：求的展开式．6)12(xx先化简后展开32231126016024019264xxxxxx6366)12(1)12()12(xxxxxx42651663)2()2()2[(1xCxCxx])2()2()2(6656246336CxCxCxC例：求的展开式．6)12(xx解:例2：求(1+2x)7的展开式的第4项的系数解：(1+2x)7的展开式的第4项是37333171(2)TCx33372Cx3280x所以(1+2x)7的展开式的第4项的系数是280变式练习：(1+2x)7的展开式的第4项的二项式系数是_______注意二项式系数与系数的区别3735C用一用例3：求展开式中x3的系数91()xx解：展开式的通项是91()xx992991()(1)kkkkkkCxCxx由题意得：9-2k=3k=3因此x3的系数是339(1)84C用一用(2)二项展开式的通项：kknknkbaCT11.二项式定理：2．思想方法)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn(1)二项式系数：),,2,1,0(nkCkn(2)用计数原理分析二项式的展开过程.(1)从特殊到一般的数学思维方式.(3)类比、等价转换的思想.杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育家1、巩固型作业：作业本1.3.1(一）2、思维拓展型作业：探究二项式系数有何性质.nnnCC，，2，，10nnCC解:例：求的展开式．61(2x)x666312x11(2x)()(2x1)xxx1.直接展开24265166066)1()2()1()2()2()12(xxCxxCxCxx2.先化简后展开32236012164192240160xxxxxx=-+-+-[phone]()1)(2()1()2()1()2(xCxxCxxCxxC解:例：求的展开式．61(2x)x思考3：你能否直接求出展开式的第３项？思考1：展开式的第３项的系数是多少？思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？666312x11(2x)()(2x1)xxx322364x192x240x16060121.xxx]31[x62x516C2x426C2x336C2x246C2x56C2x66C解:例：求的展开式．61(2x)x思考3：你能否直接求出展开式的第３项？思考1：展开式的第３项的系数是多少？思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？666312x11(2x)()(2x1)xxx242612)1()2(xxCTx240