2016版新课标高考数学题型全归纳 理科 PPT.第十六章 选讲内容第2~3节

第二节极坐标与参数方程（选修4-4）✎考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程，了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.8.掌握参数方程化普通方程的方法.✎知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点，由点出发的一条射线，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系.点称为极点，称为极轴.平面上任一点的位置可以有线段的长度和从到的角度来刻画（如图和图所示.）.这两个实数组成的有序实数对称为点的极坐标.称为极径，称为极角.OOOxOOxMOMOxOM16281629,MOxy,Mxy1628图1629图二、极坐标与直角坐标的互化设为平面上的一点，其直角坐标为，极坐标为，由图和图可知，下面的关系式成立：M,,xy1628162922cossin0xyxyytnaxxR或（上式对也成立）.xMO(,)三、极坐标的几何意义——表示以为圆心，为半径的圆；——表示过原点（极点）倾斜角为的直线，为射线；——表示以为圆心过点的圆.（可化直角坐标：）.四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为其中，为直线的倾斜角，代入点斜式方程：，即记上式的比值为，整理后得时也成立，=rOr0000…2cosaO,ao2222222cos2axyaxxaya00yykxxtank00sinπcos2yyxx00.cossinxxyy00cosπsin2xxtyyt，t故直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），直线上定点，动点，为的数量.向上向右为正（如图）.五、圆的参数方程若圆心在点，半径为，则圆的参数方程为六、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为（为参数，）.七、双曲线的参数方程双曲线的参数方程为八、抛物线的参数方程抛物线的参数方程为.（为参数，参数的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数）.00cossinxxtyytt000,Mxy,Mxyt0MM1633图16-33000,Mxyr00cos(02π).sinxxryyr剟2222:1xyCabcossinxayb02π剟2222:1xyCabsecπ(π).tan2xakkybZ22ypx222xptyptttyxOt,Mxy000,Mxy【例16.7变式2】⊙𝑂1和⊙𝑂2的极坐标方程分别为𝜌=4cos𝜃，𝜌=−4sin𝜃.(1)把⊙𝑂1和⊙𝑂2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求过⊙𝑂1和⊙𝑂2交点的直线的直角坐标方程.【解析】(1)⊙𝑂1:𝜌=4cos𝜃⇒𝜌2=4𝜌cos𝜃,得𝑥2+𝑦2=4𝑥，(𝑥−2)2+𝑦2=4,⊙𝑂2:𝜌=−4sin𝜃⇒𝜌2=−4𝜌sin𝜃,得𝑥2+𝑦2=−4𝑦，𝑥2+(𝑦+2)2=4.过圆交点的直线方程为4𝑥+4𝑦=0(两式相减)，即𝑥+𝑦=0.(2)联立两圆方程.𝑥2+𝑦2=4𝑥𝑥2+𝑦2=−4𝑦,✎题型归纳及思路提示题型179极坐标方程化直角坐标方程极坐标方程(𝜌−1)(𝜃−π)=0(𝜌≥0)表示的图形是（）.【例16.8】A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程.【解析】因为(𝜌−1)(𝜃−π)=0(𝜌≥0)，所以𝜌=1或𝜃=π（𝜌≥0）.𝜌=1⇒𝑥2+𝑦2=1，即𝑥2+𝑦2=1，表示圆心在原点的单位圆；𝜃=π（𝜌≥0）表示𝑥的负半轴，是一条射线.故选C.【例16.8变式3】(2012陕西理15)直线2𝜌cos𝜃=1与圆𝜌=2cos𝜃相交的弦长为______.【解析】将极坐标方程化为普通方程为𝑥=12与𝑥2+𝑦2=2𝑥，联立方程组成方程组求出两交点的坐标(12,32)和(12,−32)，故弦长等于3.题型181参数方程化普通方程【例16.10】若直线3𝑥+4𝑦+𝑚=0与圆𝑥=1+cos𝜃𝑦=−2+sin𝜃(𝜃为参数)没有公共点，则实数𝑚的取值范围是______.将圆的参数方程𝑥=1+cos𝜃𝑦=−2+sin𝜃(𝜃为参数)化为普通方程(𝑥−1)2+(𝑦+2)2=1，【解析】圆心为(1,−2),半径𝑟=1.因为直线和圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，𝑑=|3−8+𝑚|51⇒|𝑚−5|5，得𝑚10或𝑚0,即𝑚的范围是(−∞,0)∪(10,+∞).【例16.10变式1】在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑙的参数方程为𝑥=𝑡+3𝑦=3−𝑡(参数𝑡∈𝐑),圆𝐶的参数方程为𝑥=2cos𝜃𝑦=2sin𝜃+2(参数𝜃∈[0，2π]),则圆𝐶的圆心坐标为_____，圆心到直线𝑙的距离为_____.【解析】直线𝑙的方程为𝑥+𝑦−6=0，圆𝐶的方程为𝑥2+(𝑦−2)2=4,其圆心为(0,2).圆心到直线𝑙的距离𝑑=|0+2−6|2=22.题型182普通方程化参数方程【例16.12】在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，设𝑃(𝑥,𝑦)是椭圆𝑥23+𝑦2=1上的一个动点，求𝑆=𝑥+𝑦的最大值.【分析】利用椭圆的参数方程，建立𝑥,𝑦与参数𝜃的关系，运用三角函数最值的求法，求解𝑥+𝑦的最大值.𝑃(𝑥,𝑦)是椭圆𝑥23+𝑦2=1上的一个动点，则𝑥+𝑦=3cos𝜃+sin𝜃=2sin(𝜃+π3)，𝜃∈[0，2π].【解析】则𝑥=3cos𝜃𝑦=sin𝜃(𝜃为参数，𝜃∈[0，2π])，故(𝑥+𝑦)max=2.【例16.12变式3】已知抛物线𝐶：𝑦2=4𝑥,点𝑀(𝑚,0)在𝑥轴的正半轴上，过𝑀的直线𝑙与𝐶相交于𝐴,𝐵两点，𝑂为坐标原点.(1)若𝑚=1时，𝑙的斜率为1，求以𝐴𝐵为直径的圆的方程；(2)若存在直线𝑙使得|𝐴𝑀|，|𝑂𝑀|，|𝑀𝐵|成等比数列，求实数𝑚的取值范围.【解析】(1)若𝑚=1时，𝑀(𝑚,0),直线𝑙的斜率为1,则直线𝑙的方程为𝑦=𝑥−1，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2),圆心𝑂1(𝑥0,𝑦0),所以𝑥1+𝑥2=6，𝐴𝐵过焦点（1,0），消𝑦建立𝑥的一元二次方程得𝑥2−6𝑥+1=0,所以|𝐴𝐵|=𝑥1+𝑥2+2=8，那么以𝐴𝐵为直径的圆的方程为(𝑥−3)2+(𝑦−2)2=16.联立方程𝑦=𝑥−1𝑦2=4𝑥，(2)设直线𝑙的参数方程为𝑥=𝑚+𝑡cos𝛼𝑦=tsin𝛼(𝑡为参数)，代入抛物线方程中得:𝑡2sin2𝛼=4(𝑚+𝑡cos𝛼),即𝑡2sin2𝛼−4𝑡cos𝛼−4𝑚=0,𝑡1𝑡2=−4𝑚sin2𝛼,且|𝐴𝑀|，|𝑂𝑀|，|𝑀𝐵|成等比数列，则|𝑂𝑀|2=|𝐴𝑀||𝑀𝐵|，即𝑚2=4𝑚sin2𝛼,得𝑚=4sin2𝛼,𝛼∈(0,π),故𝑚≥4.因此实数𝑚的取值范围为[4,+∞).第三节不等式选讲（选修4-5）✎考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最值.3.了解均值不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法，分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.✎知识点精讲一、不等式性质1.同向合成（1）（2）（3）（合成后为必要条件）abbcac，；abcdacbd，；00.abcdacbd，2.同解变形（1）（2）（3）（变形后为充要条件）3.作差比较法二、含绝对值的不等式1.2.3.零点分段讨论.三、基本不等式1.（等号成立条件为）.2.（等号成立条件为）.abacbc；0,0,abcacbccacbc；11000ababba；00.abababab，0.axaaxaxaxaxa，，或22.abab222abab…abab002ababab，，…2.（等号成立条件为）.（当且仅当时取等号）.3.柯西不等式（当且仅当时取等号）.①几何意义：②推广：等号成立当且仅当向量与向量共线.四、不等式的证明1.作差比较法.2.综合法——同向合成.3.分析法，逆推法.4.数学归纳法.✎题型归纳及思路提示题型184含绝对值的不等式ab002ababab，，…3003abcababc，，…abc22222abcdacbd…adbc2222.acbdabcd剟abab222222212121122nnnnaaabbbababab…12,,,naaaa12,,,nbbbb【例16.14变式1】(2011山东理4)不等式|𝑥−5|+|𝑥+3|≥10的解集是（）.A.[−5,7]B.[−4,6]C.(−∞,−5]∪[7,+∞)D.(−∞,−4]∪[6,+∞)【解析】所以𝑥≥6.解法一：当𝑥≥5时，原不等式可变形为2𝑥−2≥10,当−3𝑥5时，原不等式可变形为8≥10，显然不成立.得𝑥≤−4,所以𝑥∈(−∞,−4]∪[6,+∞).当𝑥≤−3时，原不等式可变形为2−2𝑥≥10，解法二：利用绝对值的几何意义，|𝑥−5|+|𝑥+3|表示数轴上的点𝑥到点𝑥=−3与𝑥=5的距离之和，要使点𝑥到点𝑥=−3与𝑥=5的距离之和10，只需𝑥=−4或𝑥=6，于是当𝑥≥6或𝑥≤−4，可使|𝑥+5|+|𝑥+3|≥10成立.【评注】解法一叫做绝对值根点法：①令绝对值为0，求出绝对值的根；②此根将实数轴分为若干段，逐段讨论即可.故选C.【例16.16变式2】已知𝑎∈𝐑,关于𝑥的方程𝑥2+𝑥+|𝑎−14|+|𝑎|=0有实根，求𝑎的取值范围.【分析】由∆≥0得含绝对值的不等式.【解析】方程𝑥2+𝑥+|𝑎−14|+|𝑎|=0有实根，则∆=1−4(|𝑎−14|+|𝑎|)≥0⇒|𝑎−14|+|𝑎|≤14.(1)求出绝对值的零点|𝑎−14|=0得𝑎=14，|𝑎|=0得𝑎=0，(2)数轴标根，01/4①𝑎0−(𝑎−14)−𝑎≤14⇒无解.②0≤𝑎14−(𝑎−14)+𝑎≤14,得𝑎∈0,14.③𝑎≥14𝑎−14+𝑎≤14⇒𝑎=14.(3)分段讨论：综上可得，𝑎∈[0,14].【例16.17变式1】(2011课标全国卷24)设函数𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑎|+3𝑥其中𝑎0.(1)当𝑎=1时，求不等式𝑓(𝑥)≥3𝑥+2的解集.(2)若不等式𝑓(𝑥)≤0的解集为{𝑥|𝑥≤−1},求𝑎的值.【解析】(1)当𝑎=1时，不等式𝑓(𝑥)≥3𝑥+2可化为|𝑥−1|≥2,由此可得𝑥≥3