不等式知识点归纳大全

1《不等式》知识点归纳一.(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.(2)解分式不等式0aaxgxf的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）；(3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是分类讨论、平方转化或换元转化)；(4)解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.二、利用重要不等式abba2以及变式2()2abab等求函数的最值时，务必注意a，bR（或a，b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值(一正二定三等四同时).三、.常用不等式有：2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用)a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）四、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：（，）；五、最值定理（积定和最小）①，若积，则当时和有最小值；（和定积最大）②，若和，则当是积有最大值.【推广】：③已知,,,,Ryxba若1byax，则有则yx11的最小值为：3333abcabc≥0abc等式即可成立时取等或0cbacba33abcabc≤3()3abcabc≤3333abc≤,0,2xyxyxy≥由()xyP定值xyxy2p,0,2xyxyxy≥由()xyS定值xyxy214s21111()()2()byaxaxbyababababxyxyxy≥2④等式到不等式的转化：已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．4)2()2(82)2(822yxyxyxyxxy即0)42)(82(08)2(4)2(2yxyxyxyx解得4282yxyx（舍）或故x＋2y的最小值是4如果求xy的最大值，则xyxyyxyxxy22282)2(82，然后解关于xy的一元二次不等式，求xy的范围，进而得到xy的最大值六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法(注意：对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径，“配方、函数单调性等”对放缩的影响).七、含绝对值不等式的性质：ab、同号或有0||||||abab||||||||abab；ab、异号或有0||||||abab||||||||abab.八、不等式中的函数思想不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、函数法（1）一次函数],[,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立（2）一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：1）0)(xf对Rx恒成立00a;32）0)(xf对Rx恒成立.00a（3）不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例1．设22)(2mxxxf，当),1[x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。解：设mmxxxF22)(2，则当),1[x时，0)(xF恒成立当120)2)(1(4mmm即时，0)(xF显然成立；当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为：1220)1(0mF解得23m。综上可得实数m的取值范围为)1,3[。二、最值法：将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：（1）axf)(恒成立min)(xfa（2）axf)(恒成立max)(xfa例2．已知两个函数2()816fxxxk，32()254gxxxx，其中k为实数.(1)若对任意的33，x，都有)()(xgxf成立，求k的取值范围；(2)若对任意的3321，、xx，都有)()(21xgxf，求k的取值范围.(3)若对于任意1x3,3,总存在03,3x使得)()(10xfxg成立，求k的取值范围.解：(1)令kxxxxfxgxF1232)()()(23,问题转化为0)(xF在3,3x上恒成立,即0)(minxF即可(2)由题意可知当33，x时,都有minmax)()(xgxf.（3）于任意1x3,3,总存在03,3x使得)()(10xfxg成立，等价于fx的值域是gx的值域的子集，Oxyx-14三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag2）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag例3：已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若0)()(0],1,1[,nmnfmfnmnm时，若12)(2attxf对于所有的]1,1[],1,1[ax恒成立，求实数t的取值范围.解：题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则12)(2attxf对于所有的]1,1[],1,1[ax恒成立1212att对于所有的]1,1[a恒成立，即022tta对于所有的]1,1[a恒成立，令22)(ttaag，只要0)1(0)1(gg，022ttt或或．四、变换主元法理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例4：，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2xxax在]1,1[a上恒成立的问题。解：令44)2()(2xxaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（]1,1[a）。当2x时，可得0)(af，不合题意。当2x时，应有0)1(0)1(ff解之得31xx或。故x的取值范围为),3()1,(。5五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。函数图象和不等式有着密切的联系：1）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方.例5.设函数xxaxf4)(2,aaxxg)(,若恒有)()(xgxf成立,试求实数a的取值范围.解：由题意得)()(xgxfaaxxx242,令xxy421①,aaxy22②.①可化为)0,40(4)2(1212yxyx，它表示以(2,0)为圆心，2为半径的上半圆；②表示经过定点(-2,0)，以a为斜率的直线，要使)()(xgxf恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了(如图所示)．当直线与半圆相切时就有21|22|2aaa，即33a，由图可知，要使)()(xgxf恒成立，实数a的取值范围是33a．六、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例6：2,2x时，不等式23xaxa恒成立，求a的取值范围。解：设23fxxaxa，则问题转化为当2,2x时，fx的最小值非负。（1）当22a即：4a时，min2730fxfa73a又4a所以a不存在；（2）当222a即：44a时，2min3024aafxfa62a又44a42a（3）当22a即：4a时，min270fxfa7a又4a74a综上所得：72axyO6例7：已知a是实数，函数2()223fxaxxa，如果函数()yfx在区间11，上有零点，求a的取值范围．解析：由函数()fx的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就0a和0a两类情况进行讨论。解：函数()yfx在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223fxaxxa=0在[-1，1]上有解，a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解=(1)(1)0ff或(1)0(1)048(3)01[1.1]afafaaa15a或372a或5a372a或a≥1.所以实数a的取值范围是372a或a≥1.点评：本题主要考察二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础知识，考察了数形结合、分类讨论的思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力。