60中科院量子力学超详细笔记 第三章 一维问题

42§第三章一维问题求解dingeroSchr&&方程是量子力学的中心任务。本章研究其中较为简单的情况——一维问题。§3.1一维定态的一些特例1,一维方势阱问题，Landau与Pauli的矛盾《无限深方势阱》这是本章第一个例题，也是昀简单的对一类物理问题的数学近似模型。但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论，甚至导致严重误解：“量子力学的数学是错的”。研究一维dingeroSchr&&方程，其中位势为()⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+=axaxxV,,0(3.1a)于是定义在整个x轴上的dingeroSchr&&方程现在分为三个区域：第I区ax−≤，第II区ax，第III区ax≥。由于I区和III区中()+∞=xV（无穷位势问题见讨论i,），为使dingeroSchr&&方程成立，这两个区域中的波函数()xψ必须为零——即有边界条件()0=xψ()ax≥。说明微观粒子即便具有波动性，也难以渗透进非常高的势垒区里。于是坐标波函数求解只须对第II区进行，()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥==−axxaxxExdxdm,0,2222ψψψh(3.1b)有时，这里的边界条件被简单地写作()()axx==0ψ1。但由于对阱外情况未作规定，这种提法是含混的。参见下面有关讨论。1这种用法见泡利《物理学讲义》第五卷，详见下面讨论v的脚注。43显然，在第II区ax内方程通解为()()⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+=2122sinhmEkkxAxαψ这里出现两个待定系数A、α和一个待定参数k（它的数值将决定阱中粒子的能量）。为了确定它们，利用两个边界条件()0=±aψ（加上总几率归一条件，一共也是三个），即()()⎩⎨⎧=+−=+0sin0sinααkaka由此得πα2nka==，L,3,2,1=n。昀后，阱中粒子的能级和波函数分别为()Lh,3,2,1,82222==nmanEnπ(3.2a)()()⎪⎩⎪⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=axaxaxanaxn,0,2sin1πψ(3.2b)这虽然是一个昀简单的例子，鉴于存在不少观点分歧，需要作一些讨论说明：i,无限深方阱的势函数是对实际物理情况作出的近似的数学模写。因为第一，介质中势能不可能真是无限大；第二，势函数也不可能是严格的阶跃。容易给出能够近似认定某一势函数为无限深方阱的条件。设实际阱壁高为0V，可将0V近似认作无限高的条件是：0VE，E是问题中涉及的昀大能量。同时，设势函数两端显著上升的尺度为xΔ~，波函数有显著变化的尺度为nak42~==πλ，则可认作阶跃变化的条件为nax4=Δλ。因此，对n很大的高激发态情44况，势函数将难以被模型化为无限深方阱。另外，更不应当由这种人为的近似模型导出哈密顿量不厄密等等损及量子力学理论体系的结论。ii,当12+=mn奇数时，波函数为对称的()()axmaxm212cos112πψ+=+当mn2=为偶数时，波函数为反对称的()axmaxmπψsin12=（这里已略去无关紧要的波函数整体相因子()m1−）。各个能级上波函数的节点（零点，不计两个端点a±）个数为：基态（1=n）无节点，第一激发态（2=n）有一个节点等等。而且可以看出，阱中各能级的波函数按1−n的奇偶性区分为奇函数和偶函数，也就是说有()()()xxnnnψψ11−−=−(3.3)iii,求解结果表明，若用势阱（或势垒）从空间上限制微观粒子的活动，也即将它们内禀波动性——deBroglie波局域化，则由于波自身干涉结果必定导致波频率的分立化（注意，经典物理学中所有波也均如此），但由deBroglie波的特性，频率分立化就意味着能量量子化。即使对基态1=n，粒子的动能也不为零，说明阱中粒子从不静止。这里0==px，故ax~Δ，pp~Δ，代入不确定性关系2h≥Δ⋅Δpx，给出ap2h≥。由此可知，若将一个粒子禁闭在a2宽度的局部区域中，相应的动能便有22282mamph≥参考基态能级表达式，再次可知§1.3的排除粒子静止概念是正确的。45另外注意，由于边界条件的存在，总能量（3.2a）虽然也是阱中粒子的动能值，但却不是动能算符的任何本征值。(3.2b)式也不是动能算符的本征函数。其实，阱内任何定态都是各种动量（及动能）本征态的叠加态（见v,），它们由势阱约束着不色散而成为定态（否则将呈自由波包色散，见§3.3）。iv,将波函数()xnψ用复指数来表示，并近似地配上因子htiEne−，可得()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+axaxeeaixtEaaxnitEaaxninnn,0,2122hhhhππψ因此若仅就阱内而言，可以形象但却近似地说：阱中粒子波函数是两个反向传播的deBroglie行波叠加而成的驻波，是阱中deBroglie波在ax±=边界处多次反射相干叠加的结果，类似于两端固定的一段弦振动。这里强调指出，这两个行波并不严格单色，因为它们仅仅存在于有限区间[]aa,−内。如同光学中有限长度的光波波列不会是严格单色波一样，也见下。v,基态动量波函数问题。上面说过，此问题边界条件有两种不同提法。它们对求解阱内的坐标波函数没甚么影响，因为阱内坐标波函数是定域解；但对求解阱内的动量波函数却有影响。因为动量波函数是非定域的，就是说，阱内的动量波函数分布不仅取决于阱内坐标波函数的形状，而且还取决于阱外坐标波函数的形状，也即取决于对阱外坐标波函数的处理。由此分歧，Landau和Pauli给出了不同结果，引发了一些混乱，甚至导致有人对量子力学的严重否定。46一方面，Landau做法是1，将上面定义在全实轴上的基态波函数()x1ψ作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒子的动量波函数()p1ϕ：()()∫+∞∞−−=xdxeppxi1121ψπϕhh代入()x1ψ表达式，注意阱外()x1ψ为零，即得阱中粒子动量几率分布()()+∞∞−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−papapap,22cos222221ππϕhhh(3.4a)注意，（3.4a）式为连续分布。另一方面，Pauli求解()p1ϕ时，直接采用第iii条两个“单色波”中所含的1=n基态的两个“动量”。由此，Pauli认为2，()⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=apapp22122121hhπδπδϕ（3.4b）（3.4b）式表明阱中的动量谱是两个在全实轴上反向运动的单色deBroglie波叠加而成的驻波。显然，两种结果很不相同。究竟谁正确？或是两者都对？两者都错？实际的文献讨论中，几种观点全有表述。事实上，波函数、动量算符及dingeroSchr&&方程都应当定义在整个x轴上，而不只是定义在势阱内，正确边界条件应当是()()axx≥=01ψ，而不是()()axx==01ψ。这里问题的关键在于：不象坐标波函数是定域的，动量波函数是非定域的，阱内动量波函数的正确答案依赖于正确处理阱外的坐标波函数，也即依赖于坐标波函数边界条件的正确拟定。反过来也可以说，1朗道和栗弗席茨，量子力学（非相对论理论），上册，§22，高等教育出版社，1980年。2泡利物理学讲义，第5卷：波动力学，第二章，§7。洪铭熙等译，人民教育出版社，1982年47如果对阱外坐标波函数作不同的处理，就可以得到阱内动量分布的不同答案。(3.4b)式正是错误处理阱外坐标波函数的结果：在完全不影响阱内坐标波函数求解的情况下，将含混提法“两端点为零的边界条件”不自觉地再推广为“等间距为零的周期边界条件”，从而求得坐标波函数的周期解——这等于将阱内坐标波函数向全实轴作了周期性的延拓。(3.4b)式正是这个坐标波函数的周期解的动量分布。大家知道，坐标波函数周期解的阱外部分并不符合现在问题，当然它的动量分布也就不符合阱内的现在问题。可以验证（见习题5），仅当向经典趋近，比值ha很大（或n很大）时，正确解（3.4a）式才逐渐过渡为（3.4b）式。就是说，（3.4b）式才逐渐正确起来。由这些分析可知，第iv条中两个指数上的参量an2hπ±并不是严格的物理的动量（特别是当a或n较小时）。这还可以从下面装置的分析中得到佐证。有一块无穷大并足够厚的平板，取厚度方向为z轴，板上沿y方向开一条无限长的缝，沿x轴的缝宽为a2。电子束由板的下方入射。分离掉电子在y和z方向的自由运动，单就电子在x方向运动而言，便是一个（沿x方向）无限深方阱问题。设在板的上方正z轴某处放一接收电子的探测屏，便可以观察狭缝出来的电子在此探测屏上沿x方向的偏转，偏转大小与电子在x方向动量xp的大小有关。由此并结合分析（3.4a）式可知，如a值较小，必定是一个单缝衍射分布；只当a值较大或向宏观过渡时，屏上电子分布才逐渐过渡到两条（沿y轴的）细线分布，也即，(3.4b)式逐渐准确起来。48《有限深方势阱》这时位势为()⎪⎩⎪⎨⎧≥=2,2,00axVaxxV(3.5a)这里讨论束缚态情况——阱中粒子能量0EV。显然，前面无限深阱问题是这里0VE的极限情况。这时dingeroSchr&&方程按势阱分区而分解为三个区域性方程。分别设三个分区波函数为()()()xxxIIIIIIψψψ,,，则三个分区方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤=+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤=+−xaEVdxdmIIIaxaEdxdmIIaxEVdxdmIIIIIIIIIIIIIIIII2,2:22,2:2,2:02222220222ψψψψψψψψhhh区第区第区第(3.5b)或写成()20222222222220,20,0,IIIIIIIIIIImVEdkkdxdmEkkdxdkdxψψψψψψ⎧−′′−==⎪⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪′−=⎪⎪⎩hh三个分区波函数解分别为()()()()sinkxIIIkxIIIxAexBkxxCeψψαψ′′−⎧=⎪=+⎨⎪=⎩由于现在的定态是个束缚定态，粒子在±∞处波函数为零。所以这里已分别略去了Iψ和IIIψ中正指数项，因为它们当±∞→x时发散。这里波函数解中有一个待定参数E（它决定k和k′），和四个待定的系数A，49B，C和α，共五个。另一方面，在2ax±=处波函数及其一阶导数连续，计有四个方程，再加上一个全x轴波函数归一条件，一共也是五个方程，可供决定这五个未知数。由于()()()()xxxψψψ′=′ln，在边界上函数和其一阶导数连续，必定也有函数对数的导数连续。如果只对问题的本征值感兴趣，不想求出波函数，就可以使用在边界上波函数对数的导数连续，即()()()()()()()()2222lnlnlnlnIIIaaxxIIIIIaaxxxxxxψψψψ=−=−==′′⎧=⎪⎪⎨′′⎪=⎪⎩(3.6a)这样做的好处是在边界条件等式中预先消去了待定系数A、B、C，从而绕过对它们的计算而直接去决定本征值E。于是在2ax±=处的两组边界条件就成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=′−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=′αα22kactgkkkactgkk(3.6b)也即⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+αα22katgkatg由此得知：若要等式成立，必须0α=或2πα=。先讨论2πα=情况，这时()kxBxIIcos=ψ。边界条件为⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′2katgkk令ξ=2ka，η=′2ak，上面条件成为ξξηtg=(3.7)另一方面，由k和k′的表达式可知50202222hVma=+ηξ(3.8)联立方程(3.7)和（3.8）即可得出此问题的能谱。一般可用图解法求解，即在ηξ−平面上，以坐标原点为圆心，半径为2022hVma做圆周，此圆周与ξξηtg=曲线的交点即为所求的()ηξ,值，再由它们中任一个定出相应的能量本征值E。由于ξξηtg=曲线是多分支曲线（例如，对应0=η，有L,2,,0ππξ=等无穷多个值），因此交点可能不止一个，也就是能级可能不止一个，具体多少个要看半径大小，也就是0V大小而定。但无论20aV多小，由于ξξηtg=曲线有一个分支经过坐标原点，所以它与圆周至少有一个交点(即一个能级)存在。就是说，无论方势阱多浅多窄，至少有一个束缚定态存在。具体见