导数高考压轴题选

(22)(本题满分14分)设函数f(x)＝lnx＋1ax在(0，1e)内有极值．(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)若x1∈(0，1)，x2∈(1，＋)．求证：f(x2)－f(x1)＞e＋2－1e．注：e是自然对数的底数．由()0fx在1(0,)e内有解．令2()(2)1()()gxxaxxx，不妨设10e，则e，所以(0)10g，2112()10eeeag，解得1e2ea．…………6分由1(0,1)x，得1()()ln1afxf，由2(1,)x得2()()ln1afxf,记1()2lnh，(e)，则221()10h，()h在(０，＋∞)上单调递增，所以21()()fxfx1()(e)2eehh．…………14分22．(本题满分15分)设()lnafxxxx，32()3gxxx．（1）当2a时，求曲线()yfx在1x处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]xx，使得12()()gxgxM成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）如果对任意的1,[,2]2st，都有()()fsgt成立，求实数a的取值范围．22．(本题满分15分)（1）当2a时，2()lnfxxxx，22'()ln1fxxx，(1)2f，'(1)1f，所以曲线()yfx在1x处的切线方程为3yx；5分[来源:学+科+网Z+X+X+K]（2）存在12,[0,2]xx，使得12()()gxgxM成立等价于：12max[()()]gxgxM，考察32()3gxxx，22'()323()3gxxxxx，由上表可知：minmax285()(),()(2)1327gxggxg，12maxmaxmin112[()()]()()27gxgxgxgx，[来源:学科网ZXXK]所以满足条件的最大整数4M；k10分当1[,1)2x时，'()0hx，(1,2]x时，'()0hx，即函数2()lnhxxxx在区间1[,1)2上递增，在区间(1,2]上递减，x02(0,)3232(,2]32'()gx00()gx3递减[来源:Z,xx,k.Com]极（最）小值8527递增1所以max()(1)1hxh，所以1a。15分（3）另解：对任意的1,[,2]2st，都有()()fsgt成立,等价于：在区间1[,2]2上，函数()fx的最小值不小于()gx的最大值，由（2）知，在区间1[,2]2上，()gx的最大值为(2)1g。(1)1fa，下证当1a时，在区间1[,2]2上，函数()1fx恒成立。当1a且1[,2]2x时，1()lnlnafxxxxxxx，记1()lnhxxxx，21'()ln1hxxx，'(1)0h当1[,1)2x，21'()ln10hxxx；当(1,2]x，21'()ln10hxxx，所以函数1()lnhxxxx在区间1[,1)2上递减，在区间(1,2]上递增，min()(1)1hxh，即()1hx，所以当1a且1[,2]2x时，()1fx成立，即对任意1,[,2]2st，都有()()fsgt。15分(22)(本小题满分15分）设aR，函数()lnxafxx，()Fxx．（1）当0a时，比较(21)fe与(3)fe的大小；（2）若存在实数a，使函数()fx的图象总在函数()Fx的图象的上方，求a的取值集合．22.（1）当0a时，()lnxfxx，2ln1()lnxfxx……………1分当xe时，()0fx，所以()fx在(,)e上是增函数……………4分而3221eeeee，(3)(21)fefe……………6分（2）函数()fx的图象总在函数()Fx的图象的上方等价于()()fxFx恒成立，即lnxaxx在(0,1)(1,)上恒成立．……………7分①当01x时，0lnx，则xxaxlnxxxaln令xxxxgln)(，xxxxg2ln22)(，再令xxxhln22)(，111()xhxxxx……………8分当10x时，0)(xh，∴)(xh在)1,0(上递减，∴当10x时，0)1()(hxh，…………9分∴02)()(xxhxg，所以)(xg在)1,0(上递增，1)1()(gxg，∴1a……………10分22．（本题共15分）设函数()ln1fxxpx（Ⅰ）求函数()ln1fxxpx的极值点（Ⅱ）当0p时，若对任意的0x，恒有()0fx，求p的取值范围。（Ⅲ）证明：222222222ln2ln3ln4ln21(,2)2342(1)nnnnNnnn22．解：（1）解：∵()ln1fxxpx，∴()fx的定义域为(0,)/11()pxfxpxx，当0p时，/()0fx，()0+fx在（，）上无极值点。当0p时，令//1()0,(0,),()fxxfxp、()fx随x的变化情况如下表：从上表可以看出：当0p时，1()fxxp有唯一的极大值点------------------4分x1(0,)p1p1(,)p/()fx+0-()fx[来源:学。科。网Z。X。X。K]递增极大值递减[来源:学科网]=222111111(1)()(1)()232334(1)nnnnn----------13分=11111111(1)()(1)()2334121nnnnn2212(1)nnn结论成立-------------------------------------------------------15分22.（本小题满分15分）设函数xcbxaxxfln)(2，（其中cba,,为实常数且0a），曲线)(xfy在点))1(f1(，处的切线方程为33xy.(Ⅰ)若函数)(xf无极值点且)('xf存在零点，求cba,,的值；(Ⅱ)若函数)(xf有两个极值点，证明)(xf的极小值小于43－.22、解：（Ⅰ）xcbaxxf2)('，由题得3)1('0)1(ff，即320cbabaacab3．此时xaaxaxxfln)3()(2，xaaxaxxaaaxxf3232)('2；[来源:学科网]由)(xf无极值点且)('xf存在零点，得0)3(82aaa)0(a解得38a，于是38b，31c．……………………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知)0(32)('2xxaaxaxxf，要使函数)(xf有两个极值点，只要方程0322aaxax有两个不等正根，那么实数a应满足0)2(2030)3(82aaaaaa，解得338a，设两正根为21,xx，且21xx，可知当2xx时有极小值)(2xf．其中这里,4101x由于对称轴为41x，所以21x412，且032222aaxax，得123222xxa记xxxxgln)(2，)141(x，有0)1)(12()('xxxxg对]1,41(x恒成立，又0)1(g，故对)21,41(x恒有)1()(gxg，即0)(xg．所以有22222ln)3()(xaaxaxxf12)ln(3ln3ln3)ln(2222222222222xxxxxxxxxxa)21x41(2而0)12()ln)(14()('2222222222xxxxxxxf对于21x412恒成立，即)(2xf在21,41上单调递增，故43)21()(f2fx．……………………………15分(22)(本题满分14分)设函数()yfx在(,)ab上的导函数为()fx，()fx在(,)ab上的导函数为()fx．若在(,)ab上，有()0fx恒成立，则称函数()fx在(,)ab上为“凸函数”．已知432113()1262fxxmxx．(Ⅰ)若()fx为区间(1,3)上的“凸函数”，试确定实数m的值；[来源:学+科+网Z+X+X+K](Ⅱ)若当实数m满足||2m时，函数()fx在(,)ab上总为“凸函数”，求ba的最大值．22．（本小题满分14分）已知函数dcxbxxxf2331)(，设曲线)(xfy在与x轴交点处的切线为124xy，()fx为()fx的导函数，满足)()2(xfxf．（1）求()fx；（2）设()()gxxfx，0m，求函数()gx在[0,]m上的最大值；（3）设()ln()hxfx，若对一切[0,1]x，不等式(1)(22)hxthx恒成立，求实数t的取值范围．解：（1）2()2fxxbxc，)()2(xfxf，函数()yfx的图像关于直线1x对称，则1b．…………………………………2分直线124xy与x轴的交点为(3,0)，(3)0f，且(3)4f，即9930bcd，且964bc，解得1c，3d．则321()33fxxxx．…………………………………………………………………5分（2）22()21(1)fxxxx，222,1,()(1)1,1.xxxgxxxxxxxx…………7分其图像如图所示．当214xx时，122x，根据图像得：（ⅰ）当102m时，()gx最大值为2mm；（ⅱ）当11222m时，()gx最大值为14；（ⅲ）当122m时，()gx最大值为2mm．……10分（3）方法一：2()ln(1)2ln1hxxx，(1)2lnhxtxt，(22)2ln21hxx，当[0,1]x时，2121xx，不等式2ln2ln21xtx恒成立等价于21xtx且xt恒成立，由21xtx恒成立，得131xtx恒成立，当[0,1]x时，31[1,4]x，1[2,1]x，11t，实数t的取值范围是10t．……14分方法二：（数形结合法）作出函数]1,0[,12xxy的图像，其图像为线段AB（如图），txy的图像过点A时，1t或1t，要使不等式21xtx对[0,1]x恒成立，必须11t，…………………………………12分又当函数)1(txh有意义时，xt，当[0,1]x时，由xt恒成立，得[0,1]t，因此，实数t的取值范围是10t．…………………………………14分方法三：2()ln(1)hxx，()hx的定义域是{1}xx，要使(1)hxt恒有意义，必须tx恒成立，[0,1]x，[0,1]t，即0t或1t．………………①…………………12分Oxy1211233442ABOxy12122112由(1)(22)hxthx得22()(21)xtx，即223(42)10xtxt对[0,1]x恒成立，令22()3(42)1xxtxt，()x的对称轴为23tx，则有20,3(0)0t或22201,3(42)43(1)0ttt或21,3(1)0t解得11t．………………②综合①、②，实数t的取值范围是10t．…