高二文科数学专题五双曲线

专题六---双曲线一、知识点汇总定义aMFMF221（其中2120FFa）标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长焦距=2c,实轴长＝2a，虚轴长＝2bcba,,三者间关系c2＝a2＋b2离心率e＝ca且e＞1渐近线y＝±baxy＝±abx等轴双曲线x2－y2＝λ(λ≠0)．①渐近线方程为：y＝±x.②离心率为：e＝2.二、课前热身：判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)到两定点F1(－3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是两条射线．()(4)双曲线方程中a，b分别为实、虚轴长．()(5)方程y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.()(6)离心率e越大，双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线的斜率绝对值越大．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√三、典例分析题型一：双曲线定义的应用例1.（1）设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.x29－y216＝1B.y29－x216＝1C.x29－y216＝1(x＜0)D.x29－y216＝1(x＞0)【解析】由双曲线的定义得，P点的轨迹是双曲线的一支．由已知得2c＝10，2a＝6，∴a＝3，c＝5，b＝4.故P点的轨迹方程为x29－y216＝1(x＞0)，因此选D.【答案】D(2)双曲线1392522yx的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是()A．17B．22C．7或17D．2或22【解析】由双曲线方程x225－y29＝1得a＝5，∴||PF1|－|PF2||＝2×5＝10.又∵|PF1|＝12，∴|PF2|＝2（舍）或22.故选B【答案】B(3)已知双曲线x26－y23＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A.365B.566C.65D.56【解析】不妨设点F1(－3,0)，容易计算得出|MF1|＝32＝62，|MF2|－|MF1|＝26.解得|MF2|＝526.而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，由12|MF1|·|F1F2|＝12|MF2|·d，求得F1到直线F2M的距离d为65.故选C变式训练1：（1）已知圆M1：(x＋4)2＋y2＝25，圆M2：(x-4)2＋y2＝1，一动圆P与这两个圆都外切，则动圆圆心P的轨迹方程为___________【解】设动圆的半径是R，则由题意知|PM1|＝R＋5，|PM2|＝R＋1，两式相减得|PM1|－|PM2|＝4＜|M1M2|＝8，所以动圆圆心P的轨迹是以点M1(－4,0)、M2(4,0)为焦点的双曲线中靠近焦点M2(4,0)的一支．)2(112422xyx（2）已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．【答案】9【解析】设右焦点为F′，依题意，|PF|＝|PF′|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF′|＋4＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9.题型二：双曲线的标准方程例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝25，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4;(3)求经过点(3,0)，(－6，－3)的双曲线的标准方程．(4)虚轴长为12，离心率为54；(5)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x；(6)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．【解】(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．由题设知，a＝25，且点A(2，－5)在双曲线上，所以a＝25，25a2－4b2＝1，解得a2＝20，b2＝16.故所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.(2)椭圆x227＋y236＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)或(－15，4)．设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，则42a2－152b2＝1，a2＋b2＝32，解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.(3)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴9m＋0＝1，36m＋9n＝1，解得m＝19，n＝－13.故所求双曲线的标准方程为x29－y23＝1.(4)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．由题意知2b＝12，ca＝54且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(5)当焦点在x轴上时，由ba＝32且a＝3得b＝92.∴所求双曲线的标准方程为x29－4y281＝1.当焦点在y轴上时，由ab＝32且a＝3得b＝2.∴所求双曲线的标准方程为y29－x24＝1.(6)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y22－x24＝1.变式训练2．已知方程x24－t＋y2t－1＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：①当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆；②当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜52；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．【解析】①错误，当t＝52时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0.∴1＜t＜52；④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则4－t＜0t－1＞0，∴t＞4.【答案】②③④题型三：双曲线中的焦点三角形问题例3.(1)如图2­2­1，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点为F1，F2，过点F1作直线交双曲线的左支于点A，B，且|AB|＝m，则△ABF2的周长为________．图2­2­1(1)4a＋2m，因为|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝4a.又因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋m.所以△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.（2）若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．【精彩点拨】双曲线方程――→双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝±2a――→平方|PF1|2＋|PF2|2的值――→余弦定理∠F1PF2＝90°――→面积公式S△F1PF2【自主解答】由双曲线方程x29－y216＝1，可知a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，将此式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.变式训练3．（1）若F1，F2是双曲线8x2－y2＝8的两焦点，点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，则△PF1F2的周长为________.【解析】双曲线8x2－y2＝8可化为标准方程x2－y28＝1，所以a＝1，c＝3，|F1F2|＝2c＝6.因为点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝6，或|PF2|＝|F1F2|＝6，当|PF1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF2|＝|PF1|－2a＝6－2＝4，所以△PF1F2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF2|＝6时，△PF1F2的周长为6＋6＋8＝20.【答案】16或20（2）.如图2­2­2，已知双曲线中c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝123.求双曲线的标准方程．图2­2­2【解】由题意可知双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1.由于||PF1|－|PF2||＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理得cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|－|F1F2|22|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝2b2·32＝3b2，从而有3b2＝123，所以b2＝12，c＝2a，结合c2＝a2＋b2，得a2＝4.所以双曲线的标准方程为x24－y212＝1.题型四：双曲线的几何性质例4.(1)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【解】将原方程转化为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，∴a＝3，b＝2，c＝13，因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－13，0)，F2(13，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程y＝±23x.(2)已知双曲线x2－y2b2＝1(b0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.【解析】由双曲线x2－y2b2＝1，得a＝1，∴b1＝2，b＝2.【答案】2(3)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.12B.22C．1D.2(3)双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y＝±x，∴x±y＝0，∴顶点到渐近线的距离为d＝|±1±0|2＝22.选B(4)若实数k满足0k5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等(4)因为0k5，所以两曲线都表示双曲线，在x216－y25－k＝1中a2＝16，b2＝5－k；在x216－k－y25＝1中a2＝16－k，b2＝5.由c2＝a2＋b2知两双曲线的焦距相等，故选D.(5)已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()A.3＋1B.2＋1C．23D．22(5)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.∵△PF1F2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF2F1＝90°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，∴(2a＋2c)2＝2·(2c)2，即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e－1＝0.∵e＞1，∴e＝2＋1选B（6）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．【解析】由三角形相似或平行线分线段成比例定理