线性代数-第二章总结

29第二章矩阵及其运算矩阵是线性代数主要研究对象，是求解线性方程组的一个有力工具，它在自然科学、工程技术及经济问题等各个领域中都有广泛的应用。本章的教学基本要求：理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，了解求逆矩阵的伴随矩阵法；熟练掌握利用逆矩阵求解矩阵方程的方法；了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质；了解分块矩阵及其运算。本章的重点及难点：矩阵的各种运算及其运算规律，尤其矩阵的乘法；逆矩阵存在的条件，利用伴随矩阵法会求逆矩阵，主要是二阶和特殊的三阶矩阵的逆矩阵；用逆矩阵求解矩阵方程。§1矩阵的概念一、内容提要1．矩阵定义由nm个数排成的m行n列的矩形数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为一个m×n矩阵，其中ija表示位于数表中第i行第j列的数（mi,,2,1；nj,2,1）。ija又称为矩阵的元素。规定，1×1矩阵aa)(。矩阵也可表示为)(ija或nmija)(。如果不需要表示出矩阵的元素，通常用大写英文字母表示矩阵，如：A，B，...，或nmA，nmB，...。元素都是实数的矩阵称为实矩阵；有复数元素的矩阵称为复矩阵。若两个矩阵的行数、列数分别相等，则称它们是同型矩阵。矩阵A=nmija，B=nmijb是同型矩阵。若它们的对应元素相等，即ijijbanjmi2,1;2,1那么称矩阵A与矩阵B相等，记作：A=B。2．特殊矩阵零矩阵所有元素都为零的矩阵称为零矩阵。如一个nm的零矩阵为30nm000000000记为0nm。在不会引起混淆的情形下，也可记为0。行矩阵仅有一行的矩阵称为行矩阵(也称为行向量)，如A=naaa11211也记为A=naaa11211,,,列矩阵仅有一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量)，如A=12111naaa方阵行数和列数相同的矩阵称为方阵，例如A=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为nn方阵，常称为n阶方阵或n阶矩阵，简记为A=nija。在n阶方阵中，过11a，22a，,nna元素的直线，称为方阵的主对角线，主对角线上的元素称为主对角元。对角矩阵主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。如n21。矩阵Λ中未写出来的元素为0。单位矩阵主对角元全为1的对角矩阵称为单位矩阵。简记为E或I。有时为了表明矩阵的阶数，将阶数写在下标处，如nnE111表示n阶单位矩阵。31数量矩阵主对角元全相等的对角矩阵称为数量矩阵。如ccc。三角矩阵主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵。如nnnnaaaaaa22211211为n阶上三角矩阵；nnnnaaaaaa21222111为n阶下三角矩阵。二、例题分析矩阵理论在自然科学、工程技术及经济领域中，都有广泛的应用。下面举几个例子，说明矩阵概念的实际背景。例1在国民经济的数学问题中，常常用到矩阵。例如，假设要将某种物资从m个产地C1，C2，...，Cm运往n个销地B1，B2，...，Bn。如果用ijp表示由产地Ci（mi,,2,1）运到销地Bj（nj,,2,1）的数量，那么这个问题的调运方案就可用一个矩阵表示：mnmmnnPppPppPpp212222111211。例2在解析几何中矩阵是研究坐标变换的有力工具。例如，平面直角坐标系的旋转变换为cos'sin'sin'cos'yxyyxx其中为x轴与x′轴的交角。显然，新旧坐标之间的关系可以通过公式中系数所构成的矩阵cossinsincos32完全确定，它称为上述坐标变换的矩阵。例3n个变量nxxx,,,21与m个变量myyy,,,21之间的关系nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111表示一个从变量nxxx,,,21到变量myyy,,,21的线性变换，其中ija为常数。线性变换（2.2）的系数ija构成矩阵A=nmija)(三、小结矩阵的实质：矩阵nmija)(是由m行n列元素组成的一个数表。矩阵与行列式在形式上有些类似，但在意义上完全不同。一个n阶行列式是由n行n列元素表示的一个算式，计算结果是一个数；而nm矩阵是由m行n列元素表示的一个数表，这里可以有nm的情况。§2矩阵的运算一、内容提要1．矩阵的加法设A=nmija)(与B=nmijb)(是两个同型矩阵，那么矩阵A与B的和记作A+B，规定为nmbababababababababaBAmnmnmmmmnnnn221122222221211112121111矩阵的加法满足下面的运算规律：（1）交换律：ABBA；（2）结合律：CBACBA)()(。A的负矩阵为–A，即)(ijaA2．矩阵的减法)(BABA。3．数乘矩阵法数与矩阵nmijaA的乘积记作A或A,规定为33mnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211。数乘运算有下面的运算规律：（1）)()(AA；（2）AAA)(;（3）(A+B)=A+B。4．矩阵与矩阵的乘法设A=smija，B=nsijb，那么规定A与B的乘积是一个nm矩阵C=nmijc。其中skkjiksjisjijiijbabababac12211，;,,2,1(mi),,2,1nj。并把此乘积记作C=AB。矩阵乘法满足下列运算规律（假设下列运算都是可行的）：（1）结合律：)()(BCACAB;（2）左分配律：ACABCBA)(；右分配律：CABAACB)(；（3）)()()(BABAAB；（R）（4）设A是sm矩阵，B是ns矩阵，则AAEm,AAEs,ABBAEs。n阶方阵的幂：设A是n阶方阵，规定kllklklkkkA)(AAAAAAAAAAEA,,,,,120。其中，k，l为正整数。5．矩阵的转置把矩阵A的行换成同序数的列得到新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作TA。矩阵的转置满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：（1）AATT)(；（2）TTTBABA)(；（3）TTAA)(；（4）TTTABAB)(。推广到s个矩阵乘积为：TTsTsTsAAAAAA1121)(。6．方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做A的行列式，记作A。由方阵A确定的行列式A满足下列运算规律（设A、B为n阶方阵，为数）：（1）AAT；34（2）AAn；（3）BAAB。7．共轭矩阵当A=)(ija为复矩阵时，用ija表示ija的共轭复数，记)(ijaA。A称为A的共轭矩阵。共轭矩阵满足下列运算规律（设A，B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）：（1）BABA；（2）AA；（3）BAAB。8．常用结论（1）n阶方阵A满足，AAT，则称A为对称矩阵；（2）n阶方阵A满足，AAT，则称A为反对称矩阵。n阶矩阵A为对称矩阵的充分必要条件是jiijaa。n阶矩阵A为反对称矩阵的充分必要条件是jiijaa。当i=j时，0iia，（3）若AB=BA，则称A与B可交换。（4）设对角矩阵n21则nnnn212121nnnn21。二、例题分析矩阵的加法、减法和数乘法（即矩阵的线性运算）与数的线性运算没有质的改变，只有量的不同。例4设A=1203，B=2212，且2A–3X=B，求矩阵X。解在2A–3X=B两端同加上（–2A）得，BAX23。两端同时除以)3(得，35)2(31BAXBA3132221231120332023138矩阵与矩阵的乘法与数的乘法却有着质的不同。例5设某地区有甲、乙两个工厂，每个工厂都生产“Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ”3种产品。已知每个工厂的年产量（单位：个）如表1所示，每种产品的单价（元/个）和单位利润（元/个）如表2所示。求各工厂的总收入与总利润。表1表2工厂ⅠⅡⅢ产品单价单位利润甲11a12a13aⅠ11b12b乙21a22a23aⅡ21b22bⅢ31b32b解表1、表2可以分别用下列矩阵表示：232221131211aaaaaaA，323122211211bbbbbbB容易理解各工厂的总收入与总利润构成的矩阵就是ABC。232221131211aaaaaaABC323122211211bbbbbb322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa也可以列表如下：表3产品总收入总利润甲311321121111bababa311321121111bababa乙311321121111bababa311321121111bababa例6设523412101A，250031321B。产品项目项目36求（1）232AAB；（2）TAB；（3）A2。解：（1）232AAB)32(ABA15691236303410006264252341210111491238941523412101106383238112620810。（2）TAB203532011523412101209813112212。（3）A2A3)2(805234121018。例7设001001A，求kA.解法1：首先观察0010010010012A222002012,3232323003033AAA由此推测kkkkkkkkkkkA0002)1(121)2(k。用数学归纳法证明:37当2k时,显然成立.假设k时成立，则1k时，0010010002)1(1211kkkkkkkkkkkkAAA111100)1(02)1()1(kkkkkkkkkk由数学归纳法原理知:kkkkkkkkkkkA