线性代数§3.2

§3.2向量组的秩及其极大线性无关组一、向量组的秩1、秩的定义定义：若向量组,s中存在r个线性无关的向量，且向量组中任一向量都可由这r个向量线性表示，则称r为该向量组的秩，记作,s秩{}=r说明：(1).rs(2),{,}.ssrs若线性无关，则秩(3){,},,ssr若秩则中任意r+1个向量线性相关.反之，若向量组的秩为0，那么该向量组中只有零向量.（4）只含零向量的向量组没有最大无关组,规定它的秩为0.2、等价向量组定义:设有两向量组A:1,2,···,m与B:1,2,···,s.若B组中的每一个向量都能由A组线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示;若向量组B与向量组A可以相互线性表示,则称这两个向量组等价.定理1：若向量组12,,t,可由向量组12,,s,线性表示，且,ts则12,,t,线性相关.(以少表多，多的相关).证明：设1122Ottxxx其中11221sjjjsjsijiikkkk于是1=Otjjjx11()tsjijijixk=11()stijjiijkx=当1tijjjkx全为0时，上式一定成立.下面考虑方程组10(1,2,,)tijjjkxis因为st，即方程的个数未知数的个数所以方程组有非零解，即12,,txxx,不全为零从而12,,t,线性相关.由定理1马上可以得到：推论1：若向量组12,,t,可由向量组12,,s,线性表示，且.ts12,,t,线性无关，那么推论2：{,},,ssr若秩则中任意r+1个向量线性相关.由此可以得到秩的等价定义：若向量组中存在r个线性无关的向量，且任何r+1个向量线性相关，则称r为向量组的秩.二、极大线性无关向量组{,},,ssr设秩则中任意r个线性无关的部分组称为极大该向量组的无关组.极大：任意加进一个向量后，就线性相关.说明：{,},,ssrr（1）若秩则中线性无关的部分组中最多含个向量.（2）向量组的极大无关组不是唯一的，但其中向量的个数是唯一确定的.,742,520,111321例如:1,2,3线性相关,而1,2和2,3都线性无关,所以1,2和2,3都是1,2,3的极大无关组.（3）向量组与它的极大无关组是等价的.设A0:1,2,···,n是向量组A的一个最大无关组.则显然A0可由A线性表示.A0中得到向量组1,2,···,n,是线性相关的,对A中任意向量将其加入节定理3的结论可知,可A0由线性表示,则由上可由它的最大无关组A0线性表示.从而向量组A所以,向量组与它的最大无关组是等价的.推论3：{,},{,},,,sttsprrp若秩秩如果向量组可由线性表示，则.被表示的向量组的秩较小.分析：由推论1若向量组12,,t,可由向量组12,,s,线性表示，且.ts12,,t,线性无关，那么只需证明：,t的极大无关组可由,s的极大无关组线性表示.证明：设向量组,s的极大无关组为,,p,t的极大无关组为,r首先：,r可由,t线性表示由条件：,t可由,s线性表示又：,s可由,,p线性表示，于是,r可由,p线性表示，故.rp关于极大无关组的求法，在下节讲解！由此定理容易得到：等价的向量组的秩相等。