选修2-3课件1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》(新人教A版选修2-3)

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质nxx)2(34项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍.（1）求展开式中x的一次项；（2）展开式中是否存在常数项，若存在，求出；否则说明理由；（3）求展开式中的有理项。练习已知的展开式中，第一般地，对于nN*有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？1．“杨辉三角”的来历及规律杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示：nba)(111211331146411510105116152015611)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab………………0111CC012222CCC01233333CCCC0123444444CCCCC012345555555CCCCCC01234566666666CCCCCCC0121......rnnnnnnnnCCCCCC二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：nba)(nnnnnC,,C,C,C210从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：rnC)(rfn,,2,1,0当时，其图象是右图中的7个孤立点．6n(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(a+b)n展开式的二项式系数依次是:012,,,,.rnnnnnnCCCCC，,这就是组合数的性质1:mnmnnCC(3)增减性与最大值.增减性的实质是比较的大小.1kknnCC与(2)递推性:除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.这就是组合数的性质2:11mmmnnnCCC从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小.1!1!1!()!(1)!(1)!kknnnnknnkCCknkkknkk(4)各二项式系数的和.0122rnnnnnnnCCCCC课堂练习：1）已知，那么=；2）的展开式中，二项式系数的最大值是；3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；591515,CaCb1016C9()ab()nabab12619例1证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．nba)(试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：021312nnnnnCCCC证明：在展开式中令a=1，b=－1得011nnnnnnnCaCabCb0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC02130nnnnCCCC即0213nnnnCCCC启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。练习1：P35练习1,2,37270127017024613570172(12)===||||||=xaaxaxaxaaaaaaaaaaaaaa练习：已知：（1）（2）（3）（3）例2在(3x+2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数最大的项.解:(2)设系数最大的项是第r+1项.则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC即3(r+1)2(20-r)得2(21-r)3r所以当r=8时，系数最大的项为227855r812812892032TCxy练习：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。(12)nx补例、若展开式中前三项系数成等差数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项。42xn1(x+)二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“赋值法”，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结