1.1.3导数的几何意义1

1.1.3导数的几何意义00()()fxxfxyxx(1)函数平均变化率:【温故知新】(2)平均变化率的几何意义OABxyy=f(x)x0x0+△xf(x0)f(X0+△x)△xy00000()()'()limlimxxfxxfxyfxxx(3)导数的定义割线AB的斜率(4)求极限方法:一差、二商、三极限PPnoxyy=f(x)T我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时,割线PPn趋近于确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.xy【探索新知】割线切线想一想？割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系?割线PPn的斜率:00()()nnnfxfxkxx00()()nfxxfxkx当点Pn无限趋近于点P即Δx→0时,kn无限趋近于切线PT的斜率k.设相对于的增加量为,则0x,x0nxxxnx当Δx→0时,割线PPn的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.PQoxy割线切线T因此,函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率.【概念形成】概念用途:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.注意,曲线在某点处的切线:(1)与该点的位置有关；(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。.,,,...,.附近的变化情况在述、比较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例21021056943112tttthttth0l1l2lthO0t1t2t311.图.,的变化情况刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线.,,,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210例4(1)当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴.所以,在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有下降.(2)当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)0.所以,在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)0.所以,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.例1:求曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线斜率及切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线的斜率k=2切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线上某点处的切线方程的步骤:①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0)；②利用点斜式求切线方程。若点不在曲线上呢？变式1：试求过点且与曲线相切的直线方程。(3,5)P2yx00022000200000()()lim()()lim2()limlim(2)2xxxxfxxfxkxxxxxxxxxxxx200000523152,1021010250xxxxxkkxyxy或，，（1,1)或(5,25)y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5)或切线斜率：解得切线过点直线方程即解：因为点不在曲线上，设此切线过抛物线上的点，则(3,5)P200(,)xx思路：设出切点利用导数的几何意义和已知条件去求例3已知抛物线f(x)＝2x2＋1，根据下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)切线平行于直线4x－y－2＝0.(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.1．已知曲线y＝x3－3x上的某点处的切线平行于x轴，求该点的坐标．解：设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0x0＋Δx3－3x0＋Δx－x30＋3x0Δx＝limΔx→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2－3]＝3x20－3.课堂小结一个概念：曲线在某点的切线两种题型:(1)求曲线在某点的切线方程(2)研究函数图像的变化趋势三种思想：无限逼近,以直代曲和数形结合