二项式定理的发现、应用及推广

2.3二项式定理的发现、应用与推广二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出．二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用．物理是我的强项数学上我同样有建树2.3.1二项式定理的发现•通过探索,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的n次方的展开结果:222332234432234555322345()2()33()464()510105abaabbabaababbabaabababbabaababababb•为了便于看出规律，我们把它补充完整:01222332234432234555322345()1()()2()33()464()510105ababababaabbabaababbabaabababbabaababababb•为了便于研究其中的规律,1544年Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数.•他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和.•用公式表示为:1111211331146411510105111kkknnnCCC这个结果，中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)201C11C02C12C22C03C13C23C33C05C15C25C35C45C55C(a+b)61112113311464115101051(a+b)n06C16C26C36C46C56C66C04C14C24C34C44CCn0Cn1Cn2CnrCnn……这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”表中的每一个数等于它肩上的两数的和类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的《详解九章算法》中记载的表杨辉•通过进一步研究，1654年Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式:11112113311464115101051!!()!(1)(2)(1)123knnFknknnnnkk1713年,Bernoulli对上面的公式给出了证明。?)(4ba?)(3ba?)(2banba)(二项式定理研究的是的展开式.222baba?)(100ba)()(2baba)()(3baba…此法有困难…?)(nba展开式有几项？每一项是怎样构成的？的展开式是什么？))((2121bbaa问题1:展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？))()((212121ccbbaa问题2:多项式乘法的再认识规律:每个括号内任取一个字母相乘构成了展开式中的每一项.问题14个容器中有红、蓝玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？都不取蓝球（全取红球）：取1个蓝球（1蓝3红）：取2个蓝球（2蓝2红）：取3个蓝球（3蓝1红）：取4个蓝球（无红球）：)(1434CC)(4404CC)(2424CC)(3414CC)(0444CCmnnCmnC11mnmnmnCCC不作多项式运算，用组合知识来考察，展开))()()((babababa展开式中有哪些项？各项系数各是什么？43223444433422243144044464)(babbabaabCabCbaCbaCaCba问题2取4个a球（不取b球）：取3个a球（取3a1b）：取2个a球（取2a2b）：取1个a球（取1a3b）：不取a球（全取b球）：)(1434CC)(4404CC)(2424CC)(3414CC)(0444CC))()((bababa3aba22ab3b①项：②系数：113C23C33C03C))()((bababa))()((bababa))()((babababa2分析13C3332232133033)(bCabCbaCaCba3)(ba③展开式：探究1推导的展开式.3)(bakkba33,2,1,0kkC33)(ba4)(ba2)(ba2a22C2ab2b02C12C03C2abba23a13C23C33C3b4a04C24C14C34C44Cba322ba3ab4b?)(nba探究2仿照上述过程,推导的展开式.4)(ba猜想：没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。------牛顿nba)(nnnrrnrnbbaCC222110baCbaCaCnnnnnn____?_____)(nbannbabababa)())(()(①项：②系数：kknba分析相乘个)(banaba中选个)(knbba中选个)(kknC0nC1nCnnCknC)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn探究3：请分析的展开过程，证明猜想.nba)(naban1kknbanb③展开式：④二项展开式的通项:1kT③二项式系数:}),,2,1,0{(nkCkn①项数：②次数：共有n＋1项各项的次数都等于n，kknknbaC)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn字母a按降幂排列，次数由n递减到0,字母b按升幂排列，次数由0递增到n.杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育家二项式定理?)1(nx)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn?)(nbannnkknknnnnnbCbaCbaCaC)()()(110nnnnknnnxCxCxCC10二项式定理二项式定理的数学归纳法证明成立时，显然有当bCaCban110111kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba110等式成立，即假设kn2bababaknkk11时，当11111111101kkkrrkrkkkkkbCbaCbaCaC证:需要证明证毕bababaknkk11时，当111211011110110)(kkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaCbaCabCbaCbaCaCbabCbaCbaCaC11110110)()()(kkkkkkkkrrkrkrkkkkkkbCabCCbaCCbaCCaC111111111101kkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaCaC杨辉三角——一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一2.3.2、杨辉三角与二项式系数……1ba112ba1213ba13314ba146415ba151010516ba1615201561nba0nc2nc1ncnncrnc1nnc………………探究１：杨辉三角之雾里看花2、对称性：表中的数字左右对称，即rnnrnCC3、结构特征：除底边上1以外的各数，都等于它肩上的两数之和，即rnrnrnCCC1111、与二项式定理的关系：表中的每个数都是二项式系数，第n行的第r+1个数是第n行各数的和为２nrnC尝试探索第0行1１、杨辉三角第n行各数的特点第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC…………………………………杨辉三角的第n行中的数对应于二项式(a+b)n展开式的二项式系数杨辉三角的各行数字的和等于与之对应的(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和为2n。2、杨辉三角的基本性质和对称性基本性质：杨辉三角形的两条斜边都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加.rnrnrnCCC111即对称性：杨辉三角形的每一行中的数字左右对称.rnnrnCC即探究２：研究斜行规律：第一条斜线上：166C第二条斜线上：2615C第三条斜线上：3620C第四条斜线上：4615C猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=1+2+3+4+5=1+3+6+10=1+4+10=第m+1条斜线上的第n个数.1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1条斜线）(nr)rnrrrrrrCCCC1211nC3nC1rnC1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1条斜线）22222341nCCCC（第3条斜线）2nC（第2条斜线）)(11122110rnCCCCCrnnrnnrrr根据对称性11111231nCCCC结论：杨辉三角中，第m条斜线(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr即)(11122110rnCCCCCrnnrnnrrr即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜线(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。想一想：（07）湖南理（15）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0——1数表，从上往下数：第一次全行的数都为1的是第一行，第二次全行的数都为1的是第3行，……第n次全行的数都为1的是第行第一行11第二行101第三行1111第四行10001第五行110011分析：本题是对杨辉三角的考察，一行全１即本身全为奇数，因此，我们继续探究下表2n－1358第0行4101312679111214151）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第行的各个数字为奇数？2n-1除两端的1之外都是偶数.则第2n行的数字有什么特点？探究３、横行规律第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第1行11第0行1第2行121第3行1331第4行14641……想一想：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行18285670562881从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的斐波那契数列。探究４1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．此数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)这就是著名的斐波那契数列．中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子出生的第个月长大到第三个月才生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．1.斐波那契“兔子繁殖问题”2.3.3应用:1448955895534553421121110aaa