多元函数微积分

多元函数微积分16.多元函数的极限与连续17.多元函数微分学18.隐函数定理及其应用19.含参量积分20.曲线积分21.重积分22.曲面积分第16章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数（了解平面点集的有关概念、平面上的完备性定理、多元函数的概念）一、平面点集坐标平面……平面点集E={(x,y)|(x,y)满足的条件}邻域U(A,δ)={(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2δ2}U(A,δ)={(x,y)||x-x0|δ,|y-y0|δ}空心邻域U0(A,δ)={(x,y)|0(x-x0)2+(y-y0)2δ2}U(A,δ)={(x,y)||x-x0|δ,|y-y0|δ,(x,y)≠(x0,y0)}（一）下面利用邻域描述点和点集的关系(ⅰ)内点U(A)E(ⅱ)外点U(A)E=(ⅲ)界点U(A)E≠且U(A)EC≠点A∈R2和点集ER2必有以下三种关系之一：若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.E的边界点的全体称为E的边界,记作E;(ⅰ)聚点U0(A)E≠点A近旁是否有点集E中无穷多点构成另一种关系：聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)(ⅱ)孤立点A∈E且U0(A)E=练习1:问A是E的内点?外点?(1)设),0,0(},),,(,),,(),1,1{(\1121212AREnn问(2)设},),,(,),,(),1,1{(112121nnE)0,1(A是E的聚点?孤立点?)1,1(B呢?（二）一些重要的平面点集闭集E的所有聚点∈E开域连通的开集闭域开域连同边界开集intE=E有界点集、无界点集点集的直径三角不等式区域开域、闭域，或开域连同部分边界).,(sup)(21,21PPEdPP).,(),(),(323121PPPPPP练习2:则原点是K的点(1)设},410|),{(2222yxyxyxK和孤立点、界点，但不是聚；圆周上的点是K的点界点、聚，但不属于K；K是开域、是闭域，有界集。不也不是(2)求下列平面点集的聚点集合},10|),{()i(22yxyxE},,1,01,0|),{()ii(212121是无理数rrrrrrF},|),{()iii(11是正整数nGnn}.,|),{()iv(是整数nmnmH二、R2上的完备性定理R2上的完备性定理是二元函数极限理论的基础。为此，先给出平面点列的收敛性概念。定义1设2RPn}{为平面点列，20RP为一固定点.若,0,0N使当Nn时，有),,(0PUPn则称点列收敛于,0P记作,lim0PPnn}{nP或.,nPPn0点列极限的两种等价形式：.,0)iinn,lim)i0xxnn.lim0yynn定理16.1(柯西准则)平面点列收敛的充要条件是：,0,0N使当Nn时，对一切.),(pnnPP}{nP0p有定理16.2(闭域套定理)设是,,2,1,)i(1nDDnn.,0)()ii(nDddnn}{nD2R中的闭域列，满足则存在唯一的点.,,,210nDPn课堂练习：P92:1(1)(3)(6)作业：P92:1(7),3,5定理16.3(聚点定理)设2RE为有界无限点集，则在2RE中至少有一个聚点。推论有界无限点列必存在收敛子列.knP2RPn}{定理16.4(有限覆盖定理)设为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了D2RD}{(即}{D),则在中必存在有限个开域}{,,,,n21它们同样覆盖了D(即}{D)。推广：将定理16.4中的改为有界闭集，而D}{D为一族开集，此时定理依然成立。三、二元函数定义2设平面点集,2RD若按照某种对应法则Df,中每一点),(yxP都有唯一确定的实数z为定义在D上的二元函数，记作,,:zPRDff为与之对应，则称Df的定义域,…函数值,…值域,…自变量,…因变量。为方便计，二元函数也记作,),(),,(Dyxyxfz或.),(DPPfz便是二元函数}),(),,(|),,{(DyxyxfzzyxS三维欧氏空间3R中的点集f的图像。例2.yxz52例3.221yxz例4.xyz例5].[22yxz若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数。否则称为无界函数。练习3:描绘下列函数图象2232.1yxz222.2yxz222.3yxz四、n元函数设点集nRE若按照某种对应法则,f使每一点ExxxPn),,,(21都有唯一确定的实数y为定义在E上的n元函数，记作.,:yPREff与之对应，则称n元函数也记作,),,,(),,,,(Exxxxxxfznn2121或.),(EPPfz课堂练习：P92:4,6(1)(3);P93:8(1)(4)(7)作业：P93:8(5)(10)小结：1、掌握平面点集的有关概念；2、了解平面上的完备性定理；3、了解多元函数的概念。§2二元函数的极限一、二元函数的极限定义1设f为定义在2RD为D的一个聚点，是一个确定的实数.0P若上的二元函数，,0,0使当时，都有DPUP);(00则称在0PP时，以.)(limAPfDPPP0fA,|)(|APfD上当为极限，记作A在对于DP不致产生误解时，也可简单地记作.)(limAPfPP0.),(lim),(),(Ayxfyxyx00或例1依定义验证证明.),(lim),(),(000yxfyx.)(lim),(),(72212yxyxyx例2设),0,0(),(,0),0,0(),(,||),(2222yxyxyxyxxyyxf下面的定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归纳原则，证法也类似。,)(limDEAPfDPPP0的聚点，就有只要定理16.5是E0P.)(limAPfEPPP0不存在，则推论1设,DE1是1E0P的聚点，若)(limPfEPPP10)(limPfDPPP0也不存在。但推论2设,,DEE21是21EE,0P的聚点，若存在极限,)(lim110APfEPPP)(limPfDPPP0也不存在。220APfEPPP)(lim则,21AA)(limPfDPPP0所对应的函数列推论3且,lim0PPnn}{\0PDPn)}({nPf存在都收敛。例3讨论2232),(yxxyyxf),(),(00yx时是否存在极限。当例4讨论.,0,,0,1),(2othersxxyyxf),(),(00yx时是否存在极限。当定义2设f为定义在2RD为D的一个聚点。0P若上的二元函数，,0M,0使当时，都有DPUP);(00则称在0PP时，存在.)(limAPfPP0f,)(MPfD上当非正常极限，记作,),(lim),(),(yxfyxyx00或类似地可以定义)(limPfPP0和.)(limPfPP0例5设证明,21),(22yxyxf.),(lim),(),(yxfyx00二元函数极限的四则运算法则和相应定理仍成立。例如，.lim),(),(yxxyx2211课堂练习：P99:1(1)(2)(3)二、累次极限在上段所研究的yx,),(lim),(),(yxfyxyx00中，两个自变量同时以任何方式趋于.,00yx这种极限也称为重极限。在这段里，我们考察yx,以一定的先后顺序相继趋于00yx,时f的极限，这种极限也称为累次极限。定义3设0xREEyx,,的聚点，二元函数在xE上有定义。若是},{\0yEyy存在极限，记作yxEED0y的聚点，yE是),(limyxfxExxx0而进一步存在极限),,(lim)(yxfyxExxx0),(limyLyEyyy0则称此极限为先对)(0xx后对f的累次极限,记作)(0yy或简记作),,(limlimyxfLxyExxxEyyy00).,(limlimyxfLxxyy00类似地可定义).,(limlimyxfKyyxx00先对y后对的累次极限x例7设,),(yxyxyxyxf22讨论在原点的重极限和累次极限。例8设,1sin1sin),(2xyyxyxf讨论在原点的重极限和累次极限。重极限和累次极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的联系。例如：重极限和累次极限在一定条件下也是有联系的：定理16.6若),(yxf在点),(00yx存在重极限则它们必相等。),(lim),(),(yxfyxyx00和累次极限),,(limlimyxfyyxx00),(limlimyxfxxyy00推论1若),(yxf在点),(00yx的重极限则它们必相等。),(lim),(),(yxfyxyx00和累次极限),,(limlimyxfyyxx00都存在，),(limlimyxfxxyy00推论2若累次极限必不存在。),(lim),(),(yxfyxyx00),,(limlimyxfyyxx00存在但不相等，则重极限课堂练习：P99:2(1)(2)(3)思考题:重极限存在==累次极限存在?重极限存在==次极限存在且相等?作业：P99:1(5)(7),2(4)(5)小结：1、掌握二元函数极限和累次极限的概念；2、了解有关定理和推论；3、掌握重极限和累次极限的求法（含不存在）。§3二元函数的连续性一、二元函数的连续性概念定义设f为定义在2RD(它或者是的聚点，或者是DP0的孤立点).对于上的二元函数，只要时，就有DPUP);(0D,|)()(|0PfPfD,0,0则称关于集合连续.fD0P在点0P在点简称f连续.若在fD上任何点关于集合D连续,则称为连续函数.fD上的若0P为D的孤立点，则必为0P关于fD的连续点。若的聚点，则关于f).()(lim00PfPfDPPP0P为DD在0P连续等价于特别地,当左边极限存在但不等于的可去间断点.)(0Pf时，为0Pf一般地,当的连续性.若上式不成立(其含义与一元函数的对应0P为D情形相同)，则称为0Pf的不连续点(或间断点).的聚点时，就用上式判断在该点的如上节例1给出的函数在原点连续；事实上，注：若一元函数在某点连续，将它看作二元函数，则在相应点仍连续。).1,2(7)(lim22)1,2(),(fyxyxyx类似地，例2给出的函数也在原点连续（P94）。例3、4给出的函数在原点不连续。若把例3给出的函数改为).0,0(),(,12},0,|),{(),(,2),(222yxmmxmxyyxyxyxxyyxf则它沿直线在原点连续。mxy设,,,),(),,(00000yyyxxxDyxPyxP则称),(),(),(),(),(00000000yxfyyxxfyxfyxfyxfz为在点f0P的全增量。可用增量形式描述关于fD在0P的连续性：.lim),(),(),(000zDyxyx).,(),(),(),,(),(),(000000000000yxfyyxfyxfyxfyxxfyxfyx若在全增量中取0x或,0y则相应的函数增量称为偏增量，记为注意：偏增量的和不一定等于全增量。.,,,),(0001xyxyyxf容易证明：若二元函数在某内点连续，则对单个自变量都在该点连续。但是反过来，二元函数在某内点对单个自变量都连续，并不能