高考数学习题函数导数不等式――带答案

2010年高考解答题题型训练《函数、导数、不等式》1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知二次函数)(xgy的导函数的图像与直线2yx平行,且)(xgy在x=－1处取得最小值m－1(m0).设函数xxgxf)()((1)若曲线)(xfy上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值(2))(Rkk如何取值时,函数kxxfy)(存在零点,并求出零点.解（1）设2gxaxbxc，则2gxaxb；又gx的图像与直线2yx平行22a1a又gx在1x取极小值，12b，2b1121gabccm，cm；2gxmfxxxx，设,ooPxy则22222000002mPQxyxxx22202022222mxmx22224m22m；（2）由120myfxkxkxx，得2120kxxm*当1k时，方程*有一解2mx，函数yfxkx有一零点2mx；当1k时，方程*有二解4410mk，若0m，11km，函数yfxkx有两个零点2441111211mkmkxkk；若0m，11km，函数yfxkx有两个零点2441111211mkmkxkk；当1k时，方程*有一解4410mk,11km,函数yfxkx有一零点11xk2．（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数322()(1)52fxxkkxx，22()1gxkxkx，其中kR．（I）设函数()()()pxfxgx．若()px在区间(0,3)上不．单调．．，求k的取值范围；（II）设函数(),0,()(),0.gxxqxfxx是否存在k，对任意给定的非零实数1x，存在惟一的非零实数2x（21xx），使得21()()qxqx成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．解（I）因32()()()(1)(5)1Pxfxgxxkxk，232(1)(5)pxxkxk，因()px在区间(0,3)上不单调，．．．．所以0px在0,3上有实数解，且无重根，由0px得2(21)(325),kxxx2(325)391021214213xxkxxx，令21,tx有1,7t，记9(),httt则ht在1,3上单调递减，在3,7上单调递增，所以有6,10ht，于是9216,1021xx，得5,2k，而当2k时有0px在0,3上有两个相等的实根1x，故舍去，所以5,2k；（II）当0x时有2232(1)5qxfxxkkx；当0x时有22qxgxkxk，因为当0k时不合题意，因此0k，下面讨论0k的情形，记A(,)k，B=5,（ⅰ）当10x时，qx在0,上单调递增，所以要使21qxqx成立，只能20x且AB，因此有5k，（ⅱ）当10x时，qx在0,上单调递减，所以要使21qxqx成立，只能20x且AB，因此5k，综合（ⅰ）（ⅱ）5k；当5k时A=B，则110,xqxBA，即20,x使得21qxqx成立，因为qx在0,上单调递增，所以2x的值是唯一的；同理，10x，即存在唯一的非零实数221()xxx，要使21qxqx成立，所以5k满足题意．3．（2009江苏卷）(本小题满分16分)设a为实数，函数2()2()||fxxxaxa.(1)若(0)1f，求a的取值范围；(2)求()fx的最小值；(3)设函数()(),(,)hxfxxa，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1hx的解集.解本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分（1）若(0)1f，则20||111aaaaa（2）当xa时，22()32,fxxaxa22min(),02,0()2(),0,033faaaafxaafaa当xa时，22()2,fxxaxa2min2(),02,0()(),02,0faaaafxfaaaa综上22min2,0()2,03aafxaa（3）(,)xa时，()1hx得223210xaxa，222412(1)128aaa当6622aa或时，0,(,)xa；当6622a时，△0,得：223232()()033aaaaxxxa讨论得：当26(,)22a时，解集为(,)a;当62(,)22a时，解集为223232(,][,)33aaaaa;当22[,]22a时，解集为232[,)3aa.4．设函数()(0)kxfxxek（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）若函数()fx在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）''1,01,00kxfxkxeff,曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为yx.（Ⅱ）由'10kxfxkxe，得10xkk，若0k，则当1,xk时，'0fx，函数fx单调递减，当1,,xk时，'0fx，函数fx单调递增，若0k，则当1,xk时，'0fx，函数fx单调递增，当1,,xk时，'0fx，函数fx单调递减，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若0k，则当且仅当11k，即1k时，函数fx1,1内单调递增，若0k，则当且仅当11k，即1k时，函数fx1,1内单调递增，综上可知，函数fx1,1内单调递增时，k的取值范围是1,00,1.5．已知函数32()22fxxbxcx的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx。（I）求函数()fx的解析式；（II）设函数1()()3gxfxmx，若()gx的极值存在，求实数m的取值范围以及函数()gx取得极值时对应的自变量x的值.【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f,即430bc……①又2()34fxxbxc，由已知(2)1285fbc得870bc……②联立①②，解得1,1bc.所以函数的解析式为32()22fxxxx…………………………………4分（II）因为321()223gxxxxmx令21()34103gxxxm当函数有极值时，则0，方程2134103xxm有实数解，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由4(1)0m，得1m.①当1m时，()0gx有实数23x，在23x左右两侧均有()0gx，故函数()gx无极值②当1m时，()0gx有两个实数根1211(21),(21),33xmxm(),()gxgx情况如下表：x1(,)x1x12(,)xx2x2()x()gx+0-0+()gx↗极大值↘极小值↗所以在(,1)m时，函数()gx有极值；当1(21)3xm时，()gx有极大值；当1(21)3xm时，()gx有极小值；…………………………………12分6．已知函数xaxxfln)(2在]2,1(是增函数,xaxxg)(在(0,1)为减函数．（I）求)(xf、)(xg的表达式；（II）求证:当0x时,方程2)()(xgxf有唯一解；(III）当1b时,若212)(xbxxf在∈]1,0(内恒成立,求b的取值范围．解：（I）22()2axafxxxx，依题意()0fx在]2,1(x上恒成立即22xa在]2,1(x上恒成立，∵222x（]2,1(x，∴2a①又2()122axagxxx依题意()0gx在)1,0(x时恒成立,即xa2,)1,0(x恒成立∵22x（)1,0(x），∴2a②，由①、②得2a∴2()2ln,()2fxxxgxxx（II）由(1)可知,方程2)()(xgxf,22ln220xxxx即设22ln2)(2xxxxxh,21()21hxxxx则令0)(xh,并由,0x得(1)(222)0xxxxx解得1x令,0)(xh由0,01xx解得列表分析:x0,111,)(xh-0+)(xh递减0递增知)(xh在1x处有一个最小值0，当10xx且时,)(xh＞0∴0)(xh在(0,+)上只有一个解即当x＞0时,方程2)()(xgxf有唯一解．（III）设221()2ln2xxxbxx则322()220xxbxx∴()x在(0,1]上为减函数，∴min()(1)1210xb又1b所以11b为所求范围．7.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．设函数3233fxxbxcx在两个极值点12xx、，且12[10],[1,2].xx，（I）求bc、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点,bc的区域；(II)证明：21102fx分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。2363fxxbxc由题意知方程0fx有两个根12xx、1[10],x且，2[1,2].x则有10f，00f，1020ff，故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点,bc的区域。(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标32222233fxxbxcx中的b，（如果消c会较繁琐）再利用2x的范围，并借助（I）中的约束条件得[2,0]c进而求解，有较强的技巧性。解析由题意有22223630fxxbxc．．．．．．．．．．．．①又32222233fxxbxcx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②消去b可得32221322cfxxx．又2[1,2]x，且[2,0]c2110()2fx8．（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb(,)abR．（I）若函数()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,ab的值；（II）若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．解析（Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2aaxaxxf又3)2()0(0)0(aafbf，解得0b，3a或1a（Ⅱ