第五章-线性弹性本构关系

第五章线性弹性本构关系前面已进行了应力分析和应变分析，导出了平衡方程(3个)和几何方程(6个)。但是，在一般情况下，仅有平衡方程和几何方程还不能解决实际问题。要解决实际问题，还需要研究材料性质。反映材料性质的应力、应力变化率等和应变、应变率等之间的关系称为本构关系或本构方程。由于材料性质极其复杂，要找出适合于任何连续介质的本构关系是不可能的，甚至要找到适用于同一种连续介质在任意变形情况下的本构关系也是不可能的。在本书中，不考虑热效应，且只讨论在小变形情况下适用的线性弹性本构关系——广义胡克定律(物理方程)。§5.1应变能密度和本构关系格林(Green)公式ijijW(5.5)其中W为应变能。只要已知应变能密度()Wε的具体函数形式，就可用Green公式求出应力和应变之间的关系，即弹性材料的本构关系。具体说明如下：这里仅讨论可以不计热效应的准静态变形过程：即任意时刻的速度和加速度都小到可以忽略不计的过程。准静态变形过程中的动能为零。设单位体积中内力所做的功为ijijW(5.2)则利用平衡方程(4.12)、(4.17)、(4.19)和几何方程很简单即可证明：外力所做的功等于内力所做的功。iiiiijjiiisVsVTudsfudVnudsfudV,,,()()ijijiiijjiiijijVVVVudVfudVfudVudVijijVVdVWdV(5.1)其中iu为位移增量，与之对应的应变增量为,,1()2ijijjiuu(a)弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程。外力在准静态过程中所做的功全部转化为由于变形而储存在弹性体内的能量，这种能量W称为应变能。因为应变能是应变的单值函数，故式(5.1)中的应变能增量可表示为ijijdWd(5.3)0ijijijWd(5.4)从式(5.3)或(5.4)，可得ijijW(5.5)上式称为格林(Green)公式。§5.2广义胡克定律一般情况下，应力应变关系可表示为[广义胡克(Hooke)定律]：ijijklklE(5.10)其中ijklE是一个四阶张量，称为弹性系数或弹性模量张量。一般的四阶张量有81个独立的分量。但是对昀一般的线性弹性材料，四阶弹性模量张量只有21个独立的分量。利用W的正定性，可以证明式(5.10)是可逆的，即可以用应力来表示应变ijijklklC(5.12)其中ijklC称为柔度系数张量。广义胡克定律的证明过程如下：在应变很小的条件下，在0ij附近把应变能密度按Taylor级数展开，并略去ij二次以上的项，得12ijijijklijklWcbE(5.7)其中0ijcW，0ijijijWb(a)20ijijklijklWE(b)因为2222ijkljiklijlkklij所以，根据式(b)的定义，有ijkljiklijlkklijEEEE(5.8)取无应变状态时的应变能密度为零，则(a)式中的第一式要求0c。把式(5.7)代入式(5.5)，并利用式(5.8)，得1()2ijijijklklklijklijijklklijWbEEbE(5.9)显然ijb是无应变时的初应力。按无初应力假定，应取0ijb。所以式(5.9)和(5.7)可简化成ijijklklE(5.10)1122ijklijklijijWE(5.11)式(5.10)表示应力是应变的线性函数，这一本构关系称为广义胡克(Hooke)定律。式(5.10)和商法则表明，ijklE是一个四阶张量，称为弹性系数张量或弹性模量张量。§5.3各向异性弹性体如果材料在各个方向的性质不相同，我们就说这种材料是各向异性的。对极端各向异性弹性体，上一节已经证明只有21个独立的弹性常数。对工程中用到的材料而言，或多或少存在一些材料性质的对称性。下面将讨论几种常见的各向异性弹性体。为叙述方便起见，把本构关系(5.10)改写成如下形式。1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC56616263646566zxzxxyzxyyzzxCCCCCCC(5.13)其中111111CE，121122CE，141112CE，等。由于ijklklijEE，故ijjiCC。注意，ijC不是一个二阶张量。(1)具有一个弹性对称面的弹性体如果存在一个平面，沿和该平面垂直的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为弹性对称面，而与其垂直的方向称为弹性主方向。如右图所示，xy平面为弹性对称面，z轴方向就是主方向。xzyx'y'z'x=x';y=y';z=-z'把z轴反向，即作坐标变换xx，yy，zz，即xyzx'100y'010z'00-1则由ijjjiijiijjjiijinnnn'''''''',得新坐标系中的应力和应变为：,,,,,xxyyzzxyxyyzyzzxzx(a),,,,,xxyyzzxyxyyzyzzxzx(b)把式(a)和(b)代入式(5.13)，得xzyx'y'z'x=x';y=y';z=-z'1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC56616263646566zxzxxyzxyyzzxCCCCCCC1112131415162122232425263132333435364142434445xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC46515253545556616263646566yzzxyzxyzxyyzzxzxxyzxyyzzxCCCCCCCCCCCCC(c)由于z轴的正负两个方向的弹性相同，因此在上述坐标变换前后的应力应变关系(5.13)和(c)应该相同，换句话说在这两个特定的坐标系下应力应变关系式应保持不变，即1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC56616263646566zxzxxyzxyyzzxCCCCCCC(5.13)11121314151621222324252631323334353641424344454651525354xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC5556616263646566xyyzzxzxxyzxyyzzxCCCCCCCC(c’)故必有15162526353645460CCCCCCCC。于是，独立的弹性常数减少到13个。弹性主方向的定义意味着可直接对(c)式作如下替换,变成(c’):x'→x;y'→y;z'→z式(5.13)简化成1112131421222324313233344142434455566566xxyzxyyxyzxyzxyzxyxyxyzxyyzyzzxzxyzzxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC(5.14)(2)正交各向异性弹性体除了xy平面为弹性对称面外，假定xz平面也为弹性对称面。用和上一段类似的方法，可以证明142434560CCCC独立的弹性常数减少到9个。xzyx'y'z'x=x';y=-y';z=-z'式(5.14)变成111213212223313233445566xxyzyxyzzxyzxyxyyzyzzxzxCCCCCCCCCCCC(5.15)若进一步假设yz平面也为弹性对称面，经过和前面相同的推导，发现应力应变关系仍然是(5.15)。这一结果表明，若三个相互垂直的平面中有两个弹性对称面，则第三个面也必是弹性对称面。这种弹性体称为正交各向异性弹性体。(3)横观各向同性弹性体若材料性质关于某一轴(不妨设为z轴)对称，也就是说，在和这一轴垂直的xy平面内的任何方向具有相同的弹性性质，或者说，xy平面是各向同性平面，则这种弹性体就称为横观各向同性弹性体。显然，xz平面和yz平面都是对称面，故横观各向同性弹性体必定是一种正交各向异性体，式(5.15)仍成立。xzyz=-z'x'z'y'xy可以证明横观各向同性弹性体的本构关系如下1112132111133131331111225555()xxyzyxyzzxyzxyxyyzyzzxzxCCCCCCCCCCCCC(5.16)由此可见，横观各向同性弹性体有5个独立的弹性常数。§5.4各向同性弹性体如果沿所有方向的弹性性质都相同，则这种材料称为各向同性弹性材料。在数学上，如果应力应变关系的分量形式和坐标系无关，则对应的材料必定是各向同性的。xzy可以证明对各向同性弹性材料，只有两个独立的弹性常数。式(5.16)可改写成121112121112121112111211121112()()()()()()xxyyzzxyxyyzyzzxzxCCCCCCCCCCCCCCC(a)令12C，1112()/2CC，并称、为Lame(拉梅)系数。用应变表示应力（、）式(a)可写成222222xxyyzzxyxyyzyzzxzx(5.17a)即2ijijij(5.17b)